在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在着大量的不等關系。如兩點之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，等等。人們還經常用長與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數量上存在的不等關系。在數學中，我們用不等式來表示不等關系。

不等式的基本性質：

①對稱性；即a>b←→b<a；

②傳遞性；即a>b,b>c→a>c

③加法單調性，即同向不等式可加性；即：a>b→a c>b c

④乘法單調性；即：a>b,c>d→ac>bd

⑤同向正值不等式可乘性；即：a>b>0,c>d>0→ac>bd

⑥正值不等式可乘方；a>b>0→a的n次方>b的n次方 (n∈N 且n>1)

⑦正值不等式可開方；a>b>0→√a>√b (n∈N 且n>1)

不等式證明方法：

比較法

作差比較法：根據a-b>0↔a>b，欲證a>b，隻需證a-b>0；

作商比較法：根據a/b=1，

當b>0時，得a>b，

當b>0時，欲證a>b，隻需證a/b>1，

當b<0時，得a<b。

綜合法

由因導果. 證明不等式時，從已知的不等式及題設條件出發，運用不等式性質及适當變形推導出要證明的不等式. 合法又叫順推證法或因導果法。

分析法

執果索因. 證明不等式時，從待證命題出發，尋找使其成立的充分條件. 由于”分析法“證題書寫不是太方便，所以有時我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然後用”綜合法“進行表述。

放縮法

将不等式一側适當的放大或縮小以達到證題目的，已知A<C，要證A<B，則隻要證C<B. 若C<B成立，即證得A<B. 也可采用把B縮小的方法，若已知C<B，則隻要證A<C。

歸納法

證明與自然數n有關的不等式時，可用數學歸納法證之。

用數學歸納法證明不等式，要注意兩步一結論。

在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

反證法

證明不等式時，首先假設要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結論，以此說明原假設的結論不成立，從而肯定原命題的結論成立的方法稱為反證法。

換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個數，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

構造法

通過構造函數、圖形、方程、數列、向量等來證明不等式。

不等式經典提高練習題：

1、已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：(1a－1)•(1b－1)•(1c－1)≥8。

2、已知A＝2x²＋3x＋2，B＝2x²－4x－5，試比較A與B的大小。

3、 k取哪些整數時，關于x的方程5x＋4＝16k－x的根大于2且小于10？

4、若m、n為有理數，解關于x的不等式(－m2－1)x＞n。

5、根據等式和不等式的基本性質，我們可以得到比較兩個數大小的方法：若A－B＞0，則A＞B；若A－B=0，則A=B；若A－B＜0，則A＜B，這種比較大小的方法稱為“作差比較法”，試比較2x2－2x與x2－2x的大小。

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