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高等數學積分定理題
高等數學積分定理題
更新时间:2025-04-03 07:23:08

高等數學積分定理題(高等數學中幾道比較經典的積分計算例題)1

方法一,這種做法比較常規,看到分母的1 sinx時,我們應該會想到嘗試使用完全平方公式,即分子分母同乘以1-sinx,這樣就可以把分母變成cos^2 x,接下來的計算就比較簡單了,隻需要使用一些簡單的積分公式就可以求解出來。

如下的方法二,具有一定的技巧性。我們可以學習一下這種技巧和方法。

高等數學積分定理題(高等數學中幾道比較經典的積分計算例題)2

第(2)題,我們看到1 cosx時,就要想到三角函數降幂公式的逆運算,即1 cosx=2cos^2 (x/2)。因為分母的角x變成半角(x/2)了,所以同樣也把分子的角x變成半角(x/2),即sinx=2sin(x/2)cos(x/2)。接下來,隻需要知道tan(x/2)的導數是(1/2)sec^2(x/2),就可以采用分部積分法去求解了。其實,對于這道題來說,還有第二種方法,即采用題(1)的方法二去求解,感興趣的話可以自己去求解一下。

高等數學積分定理題(高等數學中幾道比較經典的積分計算例題)3

第(3)題是第十屆全國大學生數學競賽決賽裡的一道填空題,這道題難度不大。觀測題目,不難發現積分區間是0到正無窮大、分母為x^2 a^2,這時候我們就應該想到,如果令x=a*tant後,積分區間就可以變成0到(π/2),分母就化簡成為a。

高等數學積分定理題(高等數學中幾道比較經典的積分計算例題)4

第(4)題是第五屆全國大學生數學競賽預賽的一道題,做這道題的關鍵是,要知道arctan(x) arctan(1/x)=(π/2),就可以将原來比較複雜的積分進行化簡了,通常在其他題目中,這條等式的作用一般也是用來化簡積分。最後,在采用換元法,令x=π-t,就可以解出這道題了。

高等數學積分定理題(高等數學中幾道比較經典的積分計算例題)5

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