1．定義

一般地，對于函數f(x)

（1）如果對于函數定義域内的任意一個x，都有f(-x)=－f(x)，那麼函數f(x)就叫做奇函數。

（2）如果對于函數定義域内的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數。

（3）如果對于函數定義域内的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

（4）如果對于函數定義域内的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言

②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不是奇（或偶）函數。

（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論）

③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義

2．奇偶函數圖像的特征：

定理奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關于y軸或軸對稱圖形。

f(x)為奇函數《＝＝》f(x)的圖像關于原點對稱

點（x，y）→（-x，-y）

奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。

偶函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。

3.奇偶函數運算

(1).兩個偶函數相加所得的和為偶函數.

(2).兩個奇函數相加所得的和為奇函數.

(3).一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.

(4).兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.

(5).兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

(6).一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.

數學函數奇偶性練習題及答案解析

1.下列命題中，真命題是(　　)

A.函數y=1x是奇函數，且在定義域内為減函數

B.函數y=x3(x-1)0是奇函數，且在定義域内為增函數

C.函數y=x2是偶函數，且在(-3,0)上為減函數

D.函數y=ax2 c(ac≠0)是偶函數，且在(0,2)上為增函數

解析：選C.選項A中，y=1x在定義域内不具有單調性;B中，函數的定義域不關于原點對稱;D中，當a<0時，y=ax2 c(ac≠0)在(0,2)上為減函數，故選C.

2.奇函數f(x)在區間[3,7]上是增函數，在區間[3,6]上的最大值為8，最小值為-1，則2f(-6) f(-3)的值為(　　)

A.10　B.-10

C.-15 D.15

解析：選C.f(x)在[3,6]上為增函數，f(x)max=f(6)=8，f(x)min=f(3)=-1.∴2f(-6) f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8 1=-15.

3.f(x)=x3 1x的圖象關于(　　)

A.原點對稱 B.y軸對稱

C.y=x對稱 D.y=-x對稱

解析：選A.x≠0，f(-x)=(-x)3 1-x=-f(x)，f(x)為奇函數，關于原點對稱.

4.如果定義在區間[3-a,5]上的函數f(x)為奇函數，那麼a=________.

解析：∵f(x)是[3-a,5]上的奇函數，

∴區間[3-a,5]關于原點對稱，

∴3-a=-5，a=8.

答案：8

1.函數f(x)=x的奇偶性為(　　)

A.奇函數　　　　　　　　 B.偶函數

C.既是奇函數又是偶函數 D.非奇非偶函數

解析：選D.定義域為{x|x≥0}，不關于原點對稱.

2.下列函數為偶函數的是(　　)

A.f(x)=|x| x B.f(x)=x2 1x

C.f(x)=x2 x D.f(x)=|x|x2

解析：選D.隻有D符合偶函數定義.

3.設f(x)是R上的任意函數，則下列叙述正确的是(　　)

A.f(x)f(-x)是奇函數

B.f(x)|f(-x)|是奇函數

C.f(x)-f(-x)是偶函數

D.f(x) f(-x)是偶函數

解析：選D.設F(x)=f(x)f(-x)

則F(-x)=F(x)為偶函數.

設G(x)=f(x)|f(-x)|，

則G(-x)=f(-x)|f(x)|.

∴G(x)與G(-x)關系不定.

設M(x)=f(x)-f(-x)，

∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)為奇函數.

設N(x)=f(x) f(-x)，則N(-x)=f(-x) f(x).

N(x)為偶函數.

4.已知函數f(x)=ax2 bx c(a≠0)是偶函數，那麼g(x)=ax3 bx2 cx(　　)

A.是奇函數

B.是偶函數

C.既是奇函數又是偶函數

D.是非奇非偶函數

解析：選A.g(x)=x(ax2 bx c)=xf(x)，g(-x)=-x•f(-x)=-x•f(x)=-g(x)，所以g(x)=ax3 bx2 cx是奇函數;因為g(x)-g(-x)=2ax3 2cx不恒等于0，所以g(-x)=g(x)不恒成立.故g(x)不是偶函數.

5.奇函數y=f(x)(x∈R)的圖象必過點(　　)

A.(a，f(-a)) B.(-a，f(a))

C.(-a，-f(a)) D.(a，f(1a))

解析：選C.∵f(x)是奇函數，

∴f(-a)=-f(a)，

即自變量取-a時，函數值為-f(a)，

故圖象必過點(-a，-f(a)).

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