作者 | 蔡德清(莆田市教師進修學院)、朱慶雲(莆田市擢英中學)

來源 |《福建教育》2020年第28期，本文獲作者授權發布，作為數學文化征文比賽的參考文獻供讀者參閱.

數學是什麼？從教育的角度來看，數學作為基礎性學科，其價值總體偏向工具性，忽略了文化性。應試背景下的數學教育過分關注學生數學知識的學習、解題技巧的訓練與考試經驗的積累，使數學本該擁有的文化價值一點點地剝落和喪失。若數學教育者的眼裡隻看到題目、公式、概念、定理，心中念叨的隻是成績、排名、熟練、技巧，由此生成的課一定是抽象、單調、枯燥、乏味的。因此，引導數學教育者重塑課程觀成了當前的一項迫切任務。

眼界決定境界！文化力是創造力的源泉！倡導數學閱讀、傳播數學文化、引領數學欣賞、推廣數學寫作、提升人文素養、堅定文化自信，比純粹提升分數來得重要萬分。數學教育并非純知識或純技能的傳授，從根本上講，數學教育應被視為文化素質教育。在課程改革背景下，教師應嘗試對教材進行二次開發，将數學文化融入課堂，這無異于交給學生一把金鑰匙，助學生真正開啟數學學習之門。

數學文化的教育特征，總結起來有以下幾點：

一、哲學性

秦國丞相李斯在 《谏逐客書》 中有言：“泰山不讓土壤，故能成其大；河海不擇細流，故能就其深。”數學家德林斯說得好：“沒有數學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數學的深度。而沒有兩者，人們就什麼也看不透。”他之所以這麼說，是因為哲學研究的是世界的本質，它在人文科學中抽象性最高；數學研究的是世界的數與形，它比任何自然科學學科都具有更高的抽象性。數學為哲學的研究提供了對象，而哲學又為數學的發展起到一種引導作用。數學與哲學在許多場合不期而遇，你中有我，我中有你。哲學是心靈的學問，哲學教人愛智慧、教人明人生、教人察人性；而數學是知識的學問，數學教人長智慧、教人會學習、教人善思考。

在數學發展的曆史長河中，數學哲學是一個充滿迷惑的領域，處處體現了數學文化的哲學思想。畢達哥拉斯的“萬物皆數”至今都不絕如縷，而中國古代老子《道德經》中的哲學觀點“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，揭示了“道”生萬物，從少到多，從簡單到複雜的一個變化過程，到今天還在思想層面指導我們科學思考。

現代數學哲學的研究對象為數學與現實世界，包括：數學理論與實踐發展的關系問題；數學概念及數學運算中的辯證關系，數學概念發展的内在邏輯；數學範疇中的辯證統一關系，如常量與變量、直線與曲線、連續與間斷等 （相互聯系、相互轉化的關系）；數學範疇中的對立統一思想，諸如宏觀與微觀、理性與直覺、抽象與具體、共性與個性、量變與質變、有限與無限、偶然與必然、實在與虛拟、歸納與演繹等。

如一元二次方程根的判别式Δ的數量變化（Δ>0，Δ=0，Δ<0）将引起方程根的本質變化：兩個不等實根、兩個相等實根、和兩個虛根，就體現了從量變到質變。而概率論與統計學為人類科學地認識必然與偶然提供了最佳的工具等。

數學哲學要探究數學基本概念和方法的來龍去脈，對當前數學方法進行概括總結，對典型數學應用進行評述，從而明晰數學發展階段，啟迪數學創新思維，為數學的高效發展掃清錯誤觀念的障礙。教育改革實踐和研究的重要方面是思想層面，也就是“哲理層面”。“哲學思想”應當是成為數學教學的重要戰略思想，并由它統領“數學思想方法”，才能推動科學層面與藝術層面和諧統一。

二、趣味性

有人說：“數學是美麗的花園，走進去你會聞到迷人的花香。”數學本來就是一門有趣的學問，隻不過，在入學考試這塊凹面鏡的歪曲反映下變得艱澀費解。在數學王國中旅遊，數學史是個最好的“導遊”。從古老的巴比倫數字到現代的計算機理論，從經濟學中的博弈理論到物理學中的相對論，從數學象牙塔中的哥德巴赫猜想到數學史上的三次危機，從默比烏斯帶到拓撲幾何，從蝴蝶效應到混沌運動，從科克的雪花曲線到分形幾何等，數學的産生與發展就是由一個個精彩的故事構成的。

勾股定理是初中一個非常基本的定理，它是曆史上第一個把數與形結合起來，把代數與幾何融為一體的定理。曆史上，勾股定理曾導緻了無理數的發現，引起了數學史上第一次危機，引起人們對不定方程的研究和費馬猜想，因此它是數學史上最精彩、最重要的一個定理。

數學史上最浪漫的情書應是直角坐标系的創始人笛卡爾寫的一個數學坐标方程r=a(1-sinθ)，該方程就是著名的“心形線”，這封情書據說最後被收錄到歐洲笛卡爾博物館中。學數學的人知道，“百歲山”廣告中的故事，就利用了這個創意，廣告把“百歲山”的水比喻成這封另類情書，意喻“經典、浪漫、難忘、矚目”。

人教版初中數學教材 （以下簡稱“教材”） 八年級下冊“17.2 閱讀與思考——費馬大定理”中，20 世紀數學大師希爾伯特把費馬猜想稱為會下金蛋的鵝。費馬猜想本身從提出到證明的過程，就是一部不折不扣的驚險小說，是一場挑戰人類智力極限和好奇心的接力賽，一代又一代的數學天才前赴後繼，向這一猜想發起挑戰。

目前，數學教學普遍存在“知識過度碎片化，内容過度膚淺化，教學過度技巧化”，缺少了欣賞這個環節，以一副冰冷的面孔展示給青少年，使得許多學生無法喜歡數學，害怕數學甚至厭惡數學。我們欣賞美景，欣賞歌舞，欣賞文學……欣賞讓我們賞心悅目地接受所有美好的事物。而欣賞數學，則會讓你穿越千年的曆史去品味數學文化的魅力。你會在歐氏幾何中悟到邏輯，在費馬猜想中懂得自省，在笛卡爾的“心形線”中感受到浪漫，在蒙娜麗莎的微笑中學到應用，在九章算術中品味自豪。數學文化，永遠能撩撥枯燥生活下那一顆顆年輕好學的心。竊以為，數學教育的最高境界便是師生共同陶醉于美麗的數學花園。

三、藝術性

克萊因說過：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。”費曼說過：“如果你希望理解自然，欣賞自然，那就必須理解數學的語言。”科學和藝術一樣，其誕生之目的是描述和再現大自然的美。所不同的是，藝術主要描述大自然表象的、外在的美，而科學則主要揭示大自然本質的、内在的美。自然永遠比我們所想的更深邃、更豐富、更有趣，而許多科學成果都是以數學語言特别是數學公式表現的，數學提供給我們一個非常有用的

方式去欣賞自然的美，所以科學之美的主要表現形式是數學之美。

曆史上數學對文化藝術影響深遠，按照英國數學家羅素的看法，數學“不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美，一種冷峻嚴肅的美，就像是一尊雕塑”。特别是繪畫藝術與幾何結構二者關系若即若離，又不離不棄。正如，躲在達·芬奇透視關系背後的是射影幾何，躲在畢加索抽象藝術背後的是非歐幾何，而後現代主義、純粹主義，那更與現在的分形幾何學密切相關。

勾股定理與黃金分割并稱幾何學中兩大寶藏，在相關内容教學中，教師可穿插一些數學與藝術的素材。如在教材八年級下冊“18.2 數學活動——黃金矩形”教學中，教師可介紹黃金分割，并由此引入黃金三角形、黃金圖形、黃金螺線等。黃金分割是一種非常美麗和令人興奮的數學對象，它常常出現于藝術、建築、自然界，甚至于人體結構。如自然界中的蜂巢、向日葵、鹦鹉螺的螺線等都與黃金螺線相關。黃金分割比一直能夠引起人們的美感而被認為是建築和藝術中最理想的比例，如肚臍分割整個人體，印堂穴分割整個頭，肘關節分割上肢，膝關節分割下肢。在視覺效果上，按照此黃金分割比例制作的物品是最符合人類認知審美的。達·芬奇的人體畫像基本按黃金分割的比例去畫的，如經典的蒙娜麗莎微笑等。

在教材七年級下冊“5.1 觀察與猜想——看圖時的錯覺”教學中，教師可介紹埃舍爾的作品。埃舍爾作為思想家、數學家、藝術家，他的作品常有平面鑲嵌、不可能的結構、悖論、循環等，他的作品應用了反射、滑動反射、平移、旋轉等數學方法，能看到對分形、對稱、雙曲幾何、多面體、拓撲學等數學概念的形象表達，兼具藝術性與科學性。而在教材九年級下冊“27.2 觀察與猜想——奇妙的分形圖形”教學中，通過視頻學生可以欣賞到自然界的幾何，如海岸線分形圖、自相似的植物與花椰菜，還有利用計算機設計美得令人心醉的分形藝術等，這種美令人震撼。因此，數學教育帶給學生的不僅是知識，還有心靈的震撼、美的熏陶。數學領域不缺少美，缺少的是“發現”。

四、人文性

我們發現，中外科學大師不但精通本門學科，而且文化修養比較高。國家最高科技獎獲得者谷超豪說過：“在我的生活裡，數學是和詩一樣讓我喜歡的東西。”著名作家秦牧在其名著 《藝海拾貝》 中專有“詩與數字”一節，他認為數學入詩常顯得“情趣橫溢，詩意盎然”。著名作家雨果曾經說過：“數學到了最後階段就遇到想象，在圓錐曲線、對數、概率、微積分中，想象成了計算的系數，于是數學也成了詩。”德國大數學家魏爾斯特拉斯的話“一個沒有幾分詩人氣質的數學家永遠也不會成為一個完美的數學家”，在數學界更是一句耳熟能詳的名言。

其實，數學與政治、經濟、社會，乃至文學、語言、美學等之間都有着千絲萬縷的聯系。特别是數學與文學、數學與音樂、數學與美學等都是廣義下的數學文化。

未來社會發展對數學的需要，它要求更高效的算法，更新穎的思路，更廣泛的聯絡。認識數學的學科價值有助于提高數學教學的自豪感、積極性；消除社會對數學的誤解。《未來10年中國學科發展戰略·數學》指出數學在自然科學、高技術、經濟金融等領域的研究中都占有重要地位并具有深遠影響。美國的《2025年的數學科學》強調數學關系到一個國家經濟社會與國家安全的現實利益。鄭志明院士說過：“要想成為AI領袖人物，學好數學是基礎”，這也是華為公司要在法國、俄羅斯設立數學研究中心意義所在。事實上社會消費了大量的數學，但一切隻在幕後進行。原因是數學屬于幕後，這造成人們對“數學有用”的理解具有很大的局限性！

五、人文性

我們發現中外科學大師不但精通本門學科，文化修養大都比較高。國家最高科技獎谷超豪說過“在我的生活裡，數學是和詩一樣讓我喜歡的東西。”著名作家秦牧在其名著《藝海拾貝》中專有“詩與數字”一節，他認為數學入詩常顯得“情趣橫溢，詩意盎然。”著名作家雨果曾經說過：“數學到了最後階段就遇到想象，在圓錐曲線、對數、概率、微積分中，想象成了計算的系數，于是數學也成了詩”。而德國大數學家魏爾斯特拉斯的“一個沒有幾分詩人氣質的數學家永遠也不會成為一個完美的數學家”在數學界更是一句耳熟能詳的名言。有副對聯：“世事再紛繁，加減乘除算盡，宇宙雖廣大，點線面體包完”，卻是何等的數學氣概。

其實，數學與政治、經濟、社會乃至文學、語言、美學等之間都有着千絲萬縷的聯系。特别是數學與文學、數學與詩歌、數學與音樂、數學與美學等都是廣義下的數學文化。

現如今，會解題、會教學的數學教師很多，但會閱讀、會寫作的數學教師很少，這是一種普遍現象。應該說，你不會解題你就不會教數學，若你隻會解題，不注重人文素養的提升，則隻能成為一個教書匠。随着對數學文化研究的深入，我們對教育的認識已由知識層面上升到了精神層面，從關注知識的傳授轉變到同時關注人文素養的發展。為讓數學課堂充滿着美好情境的人文精神，教師需要加強學習數學文化相關内容，如數學史、數學哲學、數學教育學相關書籍，挖掘教材中的數學文化，做數學文化的學習者與宣講者，讓自己成為一個“最文化”的數學人。

眼界遠比知識重要，如果說數學教學的任務是教授數學知識，那麼數學教育則是在數學知識中捕捉、滲透、引領“人”的成長。隻有将數學文化融入課程，才能創設出令人愉悅的課堂；隻有挖掘數學知識蘊含的價值觀資源，才能有效地實現數學課程的育人目标；隻有在數學課堂中呈現出人文精神，才能塑造出趨于完美的人格。這正是課程改革的價值取向，也是數學教育發展的必然歸宿。

注：本文為福建教育學院基礎教育研究課題《數學文化背景下的教研模式創新研究》（批準号：JYYB-2017029）的研究成果