小小悖論
卻是大智慧
上次講到芝諾悖論作為一個間接因素引發了曆史上“第一次數學危機”,對于芝諾悖論隻是簡單地介紹了一下,然後就看到有模友想要超模君詳細講講這個内容了。
既然你誠心誠意地發問了,那超模君就小發慈悲地告訴你吧。
芝諾悖論其實指的是古希臘數學家芝諾(Zeno of Elea)提出的一系列關于運動的不可分性的哲學悖論。(據說一共有40多個完全不同的悖論,然而現存的僅有8個。)
其中,最為著名的是以下4個悖論:
1、二分法悖論
因為在競賽中,追者首先必須到達被追者的出發點,當阿基裡斯追到100米時,烏龜已經又向前爬了10米,于是,一個新的起點産生了。
阿基裡斯必須繼續追,而當他追到烏龜爬的這10米時,烏龜又已經向前爬了1米,阿基裡斯隻能再追向那個1米。。。
就這樣,烏龜會制造出無窮個起點,它總能在起點與自己之間制造出一個距離,不管這個距離有多小,但隻要烏龜不停地奮力向前爬,阿基裡斯就永遠也追不上烏龜!
3、飛矢不動
“飛矢不動”中的“矢”指的是弓箭中的箭。正常的射箭,任何人都知道,隻要箭離了弦,就能飛出去,經過一段空間運動後,到達另一個位置。
然而,芝諾認為:如果我們截取“飛矢”的每一個瞬間,它在空中都是“靜止”的。既然每一個瞬間都是靜止的,所有的瞬間加起來也應該是靜止的,因此,“飛矢”是“不動”的。
4、遊行隊伍悖論
假設在運動場上,在一瞬間(一個最小時間單位)裡,相對于觀衆席A,隊列B、C分别各向右和左移動一個距離單位。
而此時,相對于B,C移動了兩個距離單位。
芝諾認為,既然隊列可以在一瞬間(一個最小時間單位)裡移動一個距離單位,也可以在半個最小時間單位裡移動一個距離單位,那麼,半個時間單位就等于一個時間單位。
因此隊列是移動不了的。
小天:那麼按照他的說法,世界都是靜止的咯。。。
而且就算你運動了也等于沒動。。。
超模君:其實,芝諾悖論隻是想說明一個問題:世界在空間上和時間上是有限可分還是無限不可分的。
原來,芝諾提出的這些悖論曾困擾人們2000多年,盡管大家都知道是錯誤的,但由于其推理過程不僅嚴謹,而且還合乎邏輯
(至少在當時是如此),以至于長期以來,竟沒人能清楚地說出它到底錯在哪裡。。。
亞裡士多德對芝諾悖論作出了這樣的解釋:
對于第一、三個悖論,他認為隻要假設時間是也是無限不可分的,那麼每一個時間點對應一個空間點,就能在無限不可分的一段時間裡跨過一段無限不可分的空間。
對于第二個悖論,他認為:當追趕者與被追者之間的距離越來越小時,追趕所需的時間也越來越小。無限個越來越小的數加起來的和是有限的,所以可以在有限的時間追上。(然而并不嚴謹)
而對于阿基裡斯悖論,阿基米德發現了一種類似于幾何級數求和的方法,而問題中所需的時間是成倍遞減的,這正是一個典型的幾何級數,由此可知阿基裡斯追上烏龜的總時間是一個有限值。
至此,這個悖論才總算是得到了一個還過得去的解釋。
随着現代數學的發展,數學家們發現了一些“手段”來解決芝諾悖論,其中最著名的就屬牛頓、萊布尼茨創立的微積分了。
所謂“微分”就是把某事物無限量地細分,“積分”就是将細分後的各個小部分加起來。
在微積分中有個很重要的變量叫做“無窮小量”,用“dx”來表示。其概念是:無限趨于零,但不等于零。
芝諾悖論之所以是錯誤的,是因為芝諾将無窮小量等同于零(完全忽略不計)。
按照這個想法的話,無窮小量繼續增加、累積,其結果都隻能是零,因此“飛矢不動”。
然而,無窮小真正是指無限趨于零(并不等于零),這樣,無窮個“趨近于零”的無窮小量相加、累積之後,就會有一個确切的值。
通過微積分,我們可以根據給定的距離求出阿基裡斯追上烏龜的時間。但這是在知道阿基裡斯已經追上烏龜的假定下進行的計算。
那麼,阿基裡斯是如何追上烏龜的呢?
很遺憾,這個在數學中無法得到一個合理的解釋。
那麼,現在我們轉戰到物理學,人們認為量子力學已經解決了芝諾悖論。
在量子世界裡,認為時間、空間和能量都是不連續的。
也就是說,時間、空間都有一個最小的單位,稱之為普朗克長度。
時間、空間都是有限可分的,這樣阿基裡斯就能追上烏龜,我們也能到達目的地了。(小天:好像還是不懂)
但是,這樣的話,豈不是我們所做的每一件事都是像放電影那樣?隻是時間的間隔少了幾個數量級?(細思極恐)
1秒的快門,400mm鏡頭,拍攝倫敦紳士。
芝諾悖論從最開始數學讨論,慢慢演變成為哲學問題(數學與哲學真的分不開嗎),也讓大量的哲學家陷入沉思。
法國哲學家柏格森說過:芝諾悖論的全部要害在于用運動軌迹代替運動本身。
許多現代分析哲學家進一步指出,芝諾用數學化的運動軌迹代替物理的運動軌迹,就将真實的物理運動導入關于無限的數學迷途之中。。。
阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德這樣形容芝諾:知道芝諾的人沒有一個不想去否定他的,所有人都認為這麼做是值得的。
英國數學家、哲學家伯特蘭·羅素曾如此評價:(芝諾悖論)為從他(芝諾)那時起到現在所創立的幾乎所有關于時間、空間以及無限的理論提供了土壤。
伯特蘭·羅素
正如數學史家F·卡約裡所說:芝諾悖論的曆史,大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的曆史。
柏拉圖曾取笑芝諾隻會耍耍小聰明,然而,現在看來,小小悖論,卻是大智慧啊。
,