三角形重心性質的表演——2022年上海中考數學第25題

我在教學過程中，最怕遇到這樣一類學生，一看到某圖，題目條件都沒看完，就把輔助線給添加上去了，如果恰好做對了，還會跟我說，這題好簡單，某某模型一下子就出來了；如果沒做對，便開始嘗試各種模型的輔助線添加方法，直到碰到死耗子為止；當然也有可能一直碰不上那隻死耗子，便隻好耗死自己，徒呼奈何。

那些看起來像某模型，但卻不是用該模型的套路的壓軸題，便正好是這類學生的克星。

題目

平行四邊形ABCD，若P為BC中點，AP交BD于點E，連接CE.

(1)若AE=CE.

①求證：平行四邊形ABCD是菱形；

②若AB=5，AE=3，求線段BD的長；

(2)以A為圓心，AE為半徑作圓，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F，且CE=√2AE，若F在直線CE上，求AB:BC的值.

解析：

(1)給出條件AE=CE，則原平行四邊形ABCD的形狀發生了改變，如下圖：

①連接AC，由AE=CE可知△AEC是等腰三角形，再由平行四邊形對角線互相平分可得點O是AC中點，最後由三線合一證明OE⊥BD，即AC⊥BD，現在平行四邊形ABCD的對角線互相垂直，因此它是菱形；

②在前面證明了菱形的基礎上，觀察AB和AE，它們的共同點是均作為直角三角形的斜邊，分别是Rt△AOB和Rt△AOE，同時這兩個三角形還有一條公共邊OA，另一條直角邊都在BD上，這令人聯想到勾股定理，如下圖：

Rt△AOB中，OA²=AB²-OB²=25-OB²，Rt△AOE中，OA²=AE²-OE²=9-OE²，可得25-OB²=9-OE²，我們整理一下：

OB²-OE²=16

(OB OE)(OB-OE)=16

寫到這一步，OB和OE之間有無數量關系呢？

再次審視△ABC，AP是它的中線，BO也是中線，兩條中線相交，交點為重心，如果能聯想到重心性質，它将每條中線都分成1：2兩部分，此題就容易了；

由重心性質可得BE=2OE，于是OB=3OE，上面的等式可變成8OE²=16，解出OE=√2，所以OB=3√2，BD=6√2；

為什麼重心可以将每條中線分成1：2兩部分呢？我們可以用面積法來證明：

上圖中，△ABC三條中線交于點O，每條中線都将△ABC分成面積相等的兩部分，例如△ABE和△ACE面積相等，同樣對于△OBC，OE也是它的中線，于是△OBE和△OCE面積相等，可得△AOB和△AOC面積相等，可證明上圖中6個小三角形面積全部相等，其中△AOB占1/3，△OBE占1/6，它們等高，所以底的比為2:1，即OA:OE=2:1，剩下的同理可證；

(2)我們先按題目要求作圖，如下：

事實上這兩個圓的作用主要是引起對公共弦EF的注意，由于教材中并未給出公共弦的性質，需要簡單證明一下；

在圓A中，AE=AF，在圓B中，BE=BF，點A和點B到線段EF兩端的距離相等，所以AB是EF的垂直平分線。

前面證明過△ABC的重心是點E，本小題中依然成立，所以CH也是△ABC中線，即點H是AB中點，現在AB和EF互相垂直平分，即四邊形AFBE是菱形；

現在我們不再需要那兩個圓了，重點利用好這個菱形，如下圖：

在△BCF中，點P是BC邊上中點，且PE∥BF，可得PE是△BCF的中位線，不妨設AE=x，則CE=√2x，則EF=√2x，EH=√2/2·x，現在再來看△AEH，顯然這是一個等腰直角三角形，求出AH=√2/2·x，于是AB=√2x；

在Rt△BCH中，我們利用勾股定理得到BC²=BH² CH²，其中BH=√2/2·x，CH=3√2/2·x，求出BC=√5x；

最後求出AB:BC=√10/5.

解題反思：

這道幾何壓軸題還是有一定難度的，理解關鍵點便在于三角形重心的性質，我們在學習三角形重心的時候，印象最深刻的莫過于它是三條中線的交點，然而這個交點對于每條中線的分割，平時接觸少了，便不太記得，尤其在第2小題中，判斷點H也是AB中點，所依據的，仍然是“三條中線交于一點”這麼淺顯的道理。

當然，在講完這道題之後，會感覺原來這麼簡單，重心我也知道，為什麼在解題時就想不到呢？我們回溯到重心這一節内容上來，教材中關于它的描述是什麼？教材習題中可有它的身影？又是如何運用的？為什麼平時的作業或考試中，我們不能這樣考它？隻是因為平時沒有這樣考，便不會這樣想嗎？……

為一連串問題下來，想必已經找到部分原因了。初中數學的知識點衆多，曾經練習過，也歸納過，但不能變成套路，理解每種模型的本質，知道為什麼它會成為模型，至關重要。

還是那句話，不反對解題模型，但它要是學生自己歸納出來的，不能是老師灌輸。若是把解題模型看作是武功的招數，那麼最高境界應該是“無招勝有招”。

愛數學做數學