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高中向量知識點歸納
高中向量知識點歸納
更新时间:2025-07-06 06:04:45

向量在高中數學中最重要的是作為工具的作用。高考中,向量難度一般不大,應用廣泛,既可以考純向量,在高考中常考一個5分的小題;向量也可以與三角、解三角形、平面幾何、立體幾何、圓錐曲線等知識結合出題。既可以考小題,也可以考大題。

向量内容簡而言之為:三三四五,既三種運算形式;三個标志性成果;四個運算;五種應用。

高中向量知識點歸納(高中向量内容小結和分析)1

(一)三種運算形式

向量的運算有三種:幾何運算,代數運算和坐标運算。

最簡單的是坐标運算;第一個難點是:幾何運算,尤其是平面向量的基本定理,主要是利用向量加法和減法及數乘向量的幾何意義,将平面上任一向量用一組基底向量表示;第二個難點是幾何運算和代數運算的綜合運用。

高中向量知識點歸納(高中向量内容小結和分析)2

(二)向量的三個标志性成果

向量的三個标志性成果為:平行,垂直和夾角。

向量平行的充要條件是坐标成比例。

向量垂直的充要條件是數量積等于零,既橫坐标之積與縱坐标之積的和為零。

兩向量的夾角的餘弦等于兩向量的數量積與兩向量的模的積的比。

以上三種運算是高考中純向量題中多次考試的内容。

高中向量知識點歸納(高中向量内容小結和分析)3

(三)向量的四種運算

四種運算:向量的加法、向量的減法、數乘向量和向量的數量積。前三種運算結果仍為向量,向量的數量積為實數。

向量的加法、減法和數乘向量的坐标運算就是坐标相加、減和數乘;向量的數量積的代數運算是兩向量的模與其夾角的餘弦之積,坐标運算是兩向量的橫坐标之積與縱坐标之積的和。

向量的數量積的代數運算應用較多,常見題型有求向量多項式的乘積及有關求模的問題。此類題在高考中反複考查。務必熟練掌握。

高中向量知識點歸納(高中向量内容小結和分析)4

(四)向量的五種應用

應用一:向量與三角

見例14,例15,用數量積的定義,占一分,最終變成三角函數的問題。

應用二:向量與解三角形

三角形中出現向量運算或表述。

高中向量知識點歸納(高中向量内容小結和分析)5

應用三:向量與平面幾何

可用向量證明平面幾何中的平行和垂直問題,也可求夾角,見資料上的例13。

應用四:向量與立體幾何

主要出現在立體幾何大題的第二問。求三種空間角。詳情見3月15日本人的微頭條。

高中向量知識點歸納(高中向量内容小結和分析)6

應用五:向量與圓錐曲線

還是将向量作工具穿插在圓錐曲線的大題或者小題中。

春季開學,高一一開始就學向量,本内容可供高中各年級的同學參考複習。

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