一階非線性微分方程定義-tft每日頭條

本文主要内容：介紹一階非齊次線性微分方程的通解的應用、特解求解舉例，以及二階微分方程可用該通解求解的情形。

一、方程通解公式

一階非齊次線性微分方程的解析式為：y' p（x）=q(x),

則其通解表達式如下：y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx c}.

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二、通解公式的實際應用

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本例中，p(x)=2x，q(x)=4x.

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本例中，p(x)=-1/x，q(x)=2x^2.

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本例中，p(x)=1/x，q(x)=sinx/x.

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本例中，先要将y'前面的系數x變形除後，得到：p(x)=1/x，q(x)=e^x/x.

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本例中，p(x)=-a，q(x)=e^mx.

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此例中，要反過來用一階非齊次線性微分方程的通解公式，其中：p(y)=-3/y，q(y)=-y/2.

三、用公式求特解情況舉例

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本例中p(x)=1/x，q(x)=4/x，求滿足y(x=1)=0時的特解。

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本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3，q(x)=1，求滿足y(x=1)=0時的特解。

四、二階微分方程可使用通式求解舉例

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y'' y'/x=4，此時先對y'按照通式公式來求解，再對y'積分求解得到y，通解中含有兩個常數系數c1和c2，此時P=1/x，Q=4。

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y''=y' x，此時先對y'按照通式公式來求解，再對y'積分求解得到y，通解中含有兩個常數系數c1和c2，此時P=-1，Q=x。

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xy'' y'=lnx，此時先對y'按照通式公式來求解，再對y'積分求解得到y，通解中含有兩個常數系數c1和c2，此時P=1/x，Q=lnx/x.