朋友問我：三分之一等于0.3無限循環，為什麼三分之一乘3等于1，而0.3無限循環乘以3等于0.9無限循環？瞬間懵了一下，這個問題自己還真沒想過。為什麼會出現這樣的差異呢？有興趣的朋友一起探讨下：

不奇怪。從數學的極限角度來講：三分之一等于0.3無限循環,因此1也等于0.9無限循環。但是，用靜止和運動的觀點來看這個問題：其實三分之一是大于0.3無限循環的，因為1/3是個靜止數，而0.3無限循環是個運動數，它是無限接近1/3的，但就是比1/3小那麼一點，因此1也是大于0.9無限循環的。

1=0.99無限循環，證明如下：

方法一:設 0.99999.......=X，得 方程一 0.99999.......=X，再由 方程一×10，得方程二 9.99999.......=10X，用方程二 減去 方程一，得到 9=9X ，簡化後得到 1=X，證得 1=0.99999.........

方法二：你用豎式計算1除以1（豎式應該會吧，小學學過的），不同的是一開始不要直接商1，而要商0，那麼餘數是1，添加一個0變成10，然後商9，10-9=1，又得到餘數是1，再按照上面的方法進行計算，就會算出來1/1=0.9999999……

方法三：可以用極限來做。等比數列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那麼當q<1且n->無窮大的時候，這個式子的極限就是a1/(1-q)。

由于循環小數0.aaaaaaaaa……=a/10 a/100 a/1000 a/10000 ……，它的每一個加數剛好構成一個無窮的等比數列，而且q=1/10，那麼就可以用a1/(1-q)計算0.99999999……，此時a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

方法四: 可以用一種笨方法，列算式 1=1，這個算式可分解為:(0.9 0.1)=1，再分解為

(0.9 0.09 0.01)=1，再分解為(0.9 0.09 0.009 0.001)=1，再分解為(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001)=1，再分解為(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.00001)=1，再分解為(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.000009 0.000001)=1，再分解為(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.000009 0.0000009 0.0000001)=1，經過無窮次分解這後得到(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.000009 0.0000009 ........)=1把括号裡的數加起來就得到0.9999999..........=1

學識淺薄，還請高人指點。