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求圓半徑定理
求圓半徑定理
更新时间:2025-04-04 19:15:50

求圓半徑定理(求圓的半徑條件如圖所示)1

題目:

求圓的半徑,條件如圖所示

知識點回顧:

共圓性質定理
  1. 圓内接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的内對角。
  2. 四邊形ABCD内接于圓O,延長AB和DC交至E,過點E作圓O的切線EF,AC、BD交于P,則有:
  3. ∠A ∠C=180°,∠B ∠D=180°(即圖中∠DAB ∠DCB=180°, ∠ABC ∠ADC=180°)
  4. ∠DBC=∠DAC(同弧所對的圓周角相等)。
  5. ∠ADE=∠CBE(外角等于内對角,可通過(1)、(2)得到)
  6. △ABP∽△DCP(兩三角形三個内角對應相等,可由(2)得到)
  7. AP*CP=BP*DP(相交弦定理)
  8. EB*EA=EC*ED(割線定理)
  9. EF²= EB*EA=EC*ED(切割線定理)
  10. AB*CD AD*CB=AC*BD(托勒密定理)
直角三角形性質定理
  1. 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(勾股定理)
  2. 在直角三角形中,兩個銳角互餘。
  3. 直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半(即直角三角形的外心位于斜邊的中點,外接圓半徑R=C/2)。該性質稱為直角三角形斜邊中線定理。
  4. 直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。
  5. Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(AD)²=BD·DC;(AB)²=BD·BC;(AC)²=CD·BC。
垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧。

粉絲解法1:

求圓半徑定理(求圓的半徑條件如圖所示)2

粉絲解法2:

兩條弦所對的圓周角互餘,兩條弦的平方和等于直徑的平方, 相交弦定理,此題即可求出半徑

求圓半徑定理(求圓的半徑條件如圖所示)3

粉絲解法3:

如圖,延長CE交圓與A,連接AB,AB即為直徑,延長DE分别與AB、圓相交于P、Q,過點B作BF垂直PQ,垂足為F,設AE=m,由題意知: FQ=DE=cEF=BC=a,EQ=a c,相交弦定理: mb=c(a c), m=c(a c)/bAC=b m=(b² c² bc)/b,AB=√(BC² AC²),代入即可求得直徑

求圓半徑定理(求圓的半徑條件如圖所示)4

粉絲解法4:

求圓半徑定理(求圓的半徑條件如圖所示)5

粉絲解法5:

求圓半徑定理(求圓的半徑條件如圖所示)6

粉絲解法6:

用坐标系來算最簡單。 以中間B點為坐标原點。圓上面三個點(A(0,-a),B(0,0),C(b,c))都知道坐标。求出AB BC弦的中垂線解析式。交點就是圓心O。再算出OB距離即可。

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