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三角尺套裝怎麼擺放
三角尺套裝怎麼擺放
更新时间:2025-04-26 12:20:57

這是粉絲提問的一道中考數學真題。老黃做出指導後,擔心他聽不懂,就自己動用解了解,順便分享給大家。這是一道關于三角尺擺放的問題,與旋轉和平移有關。

将一副三角尺按圖1擺放,等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB,與AC相交于點G,BC=2√3cm.

(1)求GC的長;

(2)如圖2, 将△DEF繞點D順時針旋轉,使直角邊DF經過點C,另一直角邊DE與AC相交于點H,分别過H, C作AB的垂線,垂足分别為M, N,通過觀察,猜想MD與ND的數量關系,并驗證你的猜想.

(3)在(2)的條件下,将△DEF沿DB方向平移得到△D’E’F’,當D’E’恰好經過(1)中的點G時,請直接寫出DD’的長度。

三角尺套裝怎麼擺放(三角尺擺放問題)1

分析:(1)純含30度角的直角三角形的三邊關系的應用,或者可以結合60度和30度的三角函數。先求AC,AB,再由AD求AG,然後用AC減去AG就是答案了。

(2)一開始老黃想利用一個很少人知道的定理來解,即“一線三直角中,若三個直角三角形都相似,則中間的直角頂點平分這條線段。”後來老黃覺得,直接運用這個定理,可能會被誤判,如果利用這個定理組織過程,可能會比較麻煩。所以老黃改用“等腰三角形底邊三線合一”的定理來解。

注意圖2中,三角形BCD易證為正三角形,而三角形ADH則易證為等腰三角形。所以M是AD的中點,N是BD的中點,又AD=BD,所以MD=ND。

(3)直接可以發現,DD'=BD. 可以證明D'E'平行于BG,則D'E'經過點G時,D'和B重合。

以上分析過程,即為思考過程,這個思考過程越快越好。老黃已經老态龍鐘,還想了不少時間,聰明的年輕人們,可要争取在最短時間内完成才行哦。下面組織解題過程:

三角尺套裝怎麼擺放(三角尺擺放問題)2

解:(1)AC=BC·tan60⁰=6cm;

AB=2BC; AD=AB/2=BC=2√3cm.

AG=AD/cos30⁰=4cm.

GC=AC-AG=2cm.

三角尺套裝怎麼擺放(三角尺擺放問題)3

(2)猜想:MD=ND.

由(1)知BD=AB/2=BC, ∴△BCD是正三角形.

CN⊥BD, ∴ND=BD/2,

∠ADH=180⁰-∠EDF-∠BDC=30⁰=∠DAH,

∴△AHD是等腰三角形.

HM⊥AD, ∴MD=AD/2,

又AD=BD,∴MD=ND.

三角尺套裝怎麼擺放(三角尺擺放問題)4

(3)DD’=2√3cm. 理由如下:

由(2)知∠ADE=30⁰=∠AD’E’,

DG垂直平分AB,∴∠BGD=∠AGD=60⁰,

∴∠GBD=90⁰-∠BGD=30⁰=∠AD’E’,

∴D’E’//BG,

∴當D’E’經過點G時, D’B重合,

∴DD’=DB=BC=2√3cm.

解題過程的組織,也是一門藝術,一定要保證整可能的簡潔,不然一是花時間太多,二是卷子寫得太亂,都是不可取的。

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