質因數和最小公倍數

• 合數的質因子
• 兩個數的最小公倍數(LCM)

合數的質因子

之前的部分，我們找到了一個數的分解因子。質數隻有兩個因子（1 和本身），而合數有2個以上的分解因子，且每一個合數可寫成多個不同質數乘積的形式 -- 數的質因子分解。

定義：數的質因子分解是多個不同質數乘積形式表示這個數

50 以下的質數有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47

質因子分解的一種方法是構建因子樹，不斷用分支将合數進行分解的過程，直到所有的葉子節點是質數為止。例如：找 36 的質因子，從 3 * 12 開始

3 是質數，而 12 是合數說明可以繼續分解：3 * 4

3 是質數，而 4 是合數。繼續分解：2 * 2

可知，36 可以寫成

當然 36 也可以從（2 * 18）, （4 * 9）, （6 * 6）開始分解，結果都是一樣的。

應用樹結構對合數做質因子分解步驟：

• 找到給定數的一對因子(它們的乘積等于給定數)，用這一對因子為給定數創建兩個分支
• 如果葉子節點的因子是質數，當前節點分解結束。标記質數的葉子節點
• 如果葉子節點的因子是合數，按第一、二步繼續處理
• 分解完成後，用乘積公式表示合數

質因子分解另一種方法是梯形分解。構建梯形前，找到可被給定數整數的最小質數因子。例如：36 可被它整除的最小質數是 2

加一級階梯，繼續對 18 分解

繼續直到最後的商是質數為止

應用梯形方式對合數做質因子分解步驟：

• 找到能被給定數整除的最小質數
• 如果商是合數，繼續找能被商整除的最小質數
• 如果商是質數，分解結束
• 分解完成，用乘積公式表示合數

兩個數的最小公倍數

這裡需要應用前面章節提到的倍數、質數概念來找兩個數的最小公倍數。這在後續的分數應用中很有幫助。

兩個數 a、b 的公倍數是指既是 a 的倍數，又是 b 的倍數的數集。我們來找找 10、25的公倍數

10：10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110，...

25：25, 50, 75, 100, 125,...

在上面的數列中都出現了 50、100，它們都是 10、25的公倍數。其實我們還可以找到更多，如果把數列繼續往下寫。

最小公倍數是兩個數公倍數中最小的數，即 50 是 10 和 25 的最小公倍數。

羅列的方式找兩個數的最小公倍數的步驟：

• 盡可能多的列出兩個數的公倍數列表
• 在它們的列表中找相同倍數的數列
• 将倍數數列從小到大排列，找到其中最小的數
• 這個最小的數就是最小公倍數

另一種方式找最小公倍數是找到它們的質因子。以找 12、18 的最小公倍數為例

12 = 2 * 2 * 3

18 = 2 * 3 * 3

把質因子乘積公式垂直排列，按如下規則取因子，最後将取得的因子做乘積得到的數即為最小公倍數

應用質因子分解找兩個數的最小公倍數步驟：

• 将兩個數做質因子分解
• 把得到的質因子以乘法的形式表示，并垂直排列
• 匹配到的每一列中相同的因子取一次，未匹配到的因子直接取
• 将所有的因子相乘得到的積，即為最小公倍數