圓内接四邊形的對角互補證明-tft每日頭條

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更新时间：2024-10-13 06:18:24

假定在一個圓的内接四邊形中，其中一條對角線與外接圓的直徑重合。證明四邊形兩個對邊在另一個對角線上的投影是相等的。即AC是直徑，求證DE=BF

圓内接四邊形的對角互補證明（圓内接四邊形一個對角線是直徑）1

證法一：延長CE到圓上另一端為G，延長AF到H，連接CH和AG，顯然∠AHC=∠CGA=90°，又因為CG∥AH，所以△AGC≌△CHA, 因此GC=AH，根據對稱性，可以證得DE=CF。（可以想象沿着過O平行于CG的直徑對折所存在的對稱）

圓内接四邊形的對角互補證明（圓内接四邊形一個對角線是直徑）2

證法二：劃OP垂直于BD，垂足為P，P為弦BD的中點。由于AO=CO，它們在BD上的投影是EP和FP也應該相等（最簡單的證明是用半徑乘以對頂角的餘弦值是相等的），即EP=FP。

等量減等量，仍然相等，所以DE=CF。

圓内接四邊形的對角互補證明（圓内接四邊形一個對角線是直徑）3

PS：關于圓内四邊形的幾何題有很多性質，對于面臨中考的同學要學會總結，比如蝴蝶定理見蝴蝶定理的證明，同弧圓周角等，四點共圓定理等。

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