圓錐曲線有很多奇妙的性質。下面我們來探讨一下雙曲線的一個性質及其應用。
性質：A是雙曲線
上的一點，l1，l2是它的兩條漸近線，作
交l1于B，
交
于C，則|AB|·|AC|為定值。
證明：因sin∠BOC為定值，
，故隻需證得|AD|·|AE|為定值。設點A（x0，y0），而
的方程為
點A到的距離|AD|為
同理，點A到的距離|AE|為
因此，
又
，即
因此，
為定值，即|AB|·|AC|為定值。
我們完成了這個性質的證明，但我們并未得到這個定值。由于這個性質的存在，我們可以用取特殊點的方法或通過計算sin∠BOC而得到定值。計算可得定值為
，請讀者自己證明。
這是雙曲線一個很有用的性質，熟練應用可以把一些問題化繁為簡。請看下面兩例。
例1. 如下圖，已知雙曲線
，一條直線分别與雙曲線及雙曲線的漸近線交于A、B、C、D四點，且
，k為常數，求ΔAOD的面積。
解：作DE⊥BO，垂足為E
∵題中雙曲線的兩條漸近線互相垂直
∴CO//DE。由性質可知
則
故
例2. 如下圖，已知兩點A、C在雙曲線C1：
上，B、D在另一與C1共漸近線的雙曲線C2上，四邊形ABCD為平行四邊形，且鄰邊分别平行兩條漸近線，求C2的方程。
初看這道題，或許有點找不着思路，因為按照常規計算，計算量是很大的。如果利用雙曲線的上述性質，問題會迎刃而解。
解：設AB交漸近線
于
，CD交漸近線于
由性質可知：
又
，所以
設
，則
由于兩雙曲線共漸近線，則
所以，
，故
▍ 來源：綜合網絡
▍ 編輯：Wordwuli
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