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高中數學三大曲線性質

高中數學三大曲線性質

更新时间：2025-03-07 11:18:05

圓錐曲線有很多奇妙的性質。下面我們來探讨一下雙曲線的一個性質及其應用。

性質：A是雙曲線

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）1

上的一點，l₁，l₂是它的兩條漸近線，作

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）2

交l₁于B，

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）3

交

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）4

于C，則|AB|·|AC|為定值。

證明：因sin∠BOC為定值，

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）5

，故隻需證得|AD|·|AE|為定值。設點A（x₀，y₀），而

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）6

的方程為

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點A到的距離|AD|為

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同理，點A到的距離|AE|為

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因此，

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）11

又

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，即

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因此，

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為定值，即|AB|·|AC|為定值。

我們完成了這個性質的證明，但我們并未得到這個定值。由于這個性質的存在，我們可以用取特殊點的方法或通過計算sin∠BOC而得到定值。計算可得定值為

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，請讀者自己證明。

這是雙曲線一個很有用的性質，熟練應用可以把一些問題化繁為簡。請看下面兩例。

例1. 如下圖，已知雙曲線

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）16

，一條直線分别與雙曲線及雙曲線的漸近線交于A、B、C、D四點，且

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，k為常數，求ΔAOD的面積。

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解：作DE⊥BO，垂足為E

∵題中雙曲線的兩條漸近線互相垂直

∴CO//DE。由性質可知

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則

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故

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高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）22

例2. 如下圖，已知兩點A、C在雙曲線C₁：

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）23

上，B、D在另一與C₁共漸近線的雙曲線C₂上，四邊形ABCD為平行四邊形，且鄰邊分别平行兩條漸近線，求C₂的方程。

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）24

初看這道題，或許有點找不着思路，因為按照常規計算，計算量是很大的。如果利用雙曲線的上述性質，問題會迎刃而解。

解：設AB交漸近線

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于

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，CD交漸近線于

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由性質可知：

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又

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，所以

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設

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，則

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由于兩雙曲線共漸近線，則

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）34

所以，

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）35

，故

高中數學三大曲線性質（雙曲線的一個性質及應用）36

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