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散度梯度旋度

• 大家都知道，路程（S）、速度（V）和加速度（a）之間的關系。同時也知道，S的一階導樓等于V；V的一階導數等于a或S的二階導數等于a。通俗講，就是單位時間内S的變化率是V，V的變化率是a。如把S假設為父級層面的量，則V就是子級層面的量，a就是孫級層面的量。總之，速度和加速度均是用來描述單位時間内某個量變化快慢的“測度”。從極限定義來看，因為點是幾何上最小的表達符号，所以，加速度再對時間進行求導，就不具有物理意義了。如果有的話，也是數學邏輯運算上的需要。
• 梯度(grad)某種程度上講，可以理解為是速度的廣義表達。都是矢量。如把速度描述成是研究函數在一點P沿着X軸、Y軸或Z軸等指定方向的變化率的問題，那麼，梯度則是研究函數在點P沿着某方向産生最大變化率 的問題。當軸到任一方向L的轉角為0或∏/2時，梯度問題就變成速度問題了。從方向導數的一般表達式推導可知，最大的方向導數與梯度的方向是一緻的，或者說，函數Z在P點變化最快的方向就是最大的方向導數的方向。因此，可以把梯度看作是描述某個量變化率問題的一個“線測度”。對于一般的二元函數或三元函數，我們可以通過幾何作圖法找出最大的方向導數方向。對于二元函數Z= f（x ，y）在點P（x ，y）的最大方向導數方向為過點P的等高線f（x ，y）=c（常數）在這點的法線方向且從數值較低的等高線指向數值較高的等高線；對于三元函數U=f（x ，y，z）的最大方向導數的方向為過點P等量面f（x ，y，z）=c（常數）在這點的法線方向且從數值低的等量面指向高的等量面。
• 散度(div)可以通俗理解為單位時間内單位體積某個量所産生的變化量。它是用來描述體積膨脹或收縮的一個“體測度”且是個标量。對于穩定流動的不可壓縮流體，散度可以表達為在某個M點的源頭強度——在單位時間内單位體積内所産生的流體質量或流失的質量。它通常由高斯公式通過某點鄰域内的通量來求得，即向量場A的散度對于空間區域Ω的體積積分等于向量場A通過曲面Σ（空間域Ω的邊界曲面）向着指定側面的通量（或流量）。
• 旋度（rot)顧名思義，是和旋轉聯系在一起的。它是個矢量，其方向符合右手螺旋法則。它是 用來描述流量強度的一個指标。通俗點理解，也不妨認為是描述單位時間内單位面積指标所産生的變化量，是衡量面積擴大或縮小的一個“面測度”。它可以通過某點鄰域的環流量來計算，即：向量場A的旋度通過Γ所張的曲面Σ的通量等于向量場A沿有向曲線Γ的環流量。
• 梯度、散度和旋度，簡稱“三度”，在電磁學上得到了完美應用。麥克斯韋方程組就是很好的例證。麥克斯韋在引入渦旋電場和位移電流兩個重要概念之後，将靜電場環流定律修改為電場強度E的環流不為零，而是等于位移電流的負值；把安培環流定律修改為全電流環路定律。同時，他認為靜電場中的高斯定理和磁場中的高斯定理，不僅适用于靜電場，而且還适用于一般的電場和磁場。于是， 将四個以積分形式表達的基本方程式組合在一起，統稱為麥克斯韋方程組。依照三度的定義，我們可以寫出麥克斯韋方程組的三度表達式，即：rotH=J ЭD/Эt ；rotE=- ЭB/Эt ； divB=0；divD=ρ。其中H為磁場強度，E為電場強度，D為電感應強度（電位移矢量），B為磁感應強度，J為傳導電流的面密度，ρ電荷的體密度。
• 梯度是由标量函數得到的矢量函數；散度是由矢量函數得到的标量函數；旋度是由矢量函數得到的矢量函數。因此，從中我們可以推導出：梯度的旋度為0；旋度的散度為0.即梯度無旋，旋度無散。
• 參考文獻：1、《高等數學》同濟大學主編；2、《物理學》南京工學院主編；3、《數學物理方程與特殊函數》南京工學院主編