“帶寬”這個術語在許多情況下已被濫用。我記得在一次會議上，這個詞被用來指：特定信号的頻率組成、特定電路的頻率響應、局域網的速度，甚至組織的人數。“我們現在沒有足夠的帶寬來處理這些工作。”也許沒人注意到這些，但我發現它很有意思。

信号帶寬

工程師會問“這個信号需要多少帶寬？”通常，這一問題涉及确保信号可以通過一個組件或系統傳輸、并在信号質量沒有降低的情況下傳輸到另一端。

圖1顯示了信号通過帶寬有限的系統的情況。如圖所示，系統有足夠的帶寬來傳遞信号且保持不變，這通常是期望的結果。當然，如果信号的頻率組成超過系統的帶寬，則輸出信号質量可能顯著降低。

圖1：盡管系統帶寬有限（低通濾波器），但足夠傳輸信号而不失真。

如果我們談論的是基本的正弦波形，“帶寬是多少？”這一問題的答案可能顯而易見：1GHz正弦波需要至少1GHz的系統帶寬才能有效傳輸。如果我們使用-3dB點來描述系統帶寬，響應将在該頻率下衰減。例如，如果我使用1GHz示波器查看1GHz正弦波，所顯示的波形幅度可能是實際值的70％（-3dB），具體取決于示波器帶寬的裕量。

數字信号甚至更具挑戰性，因為它們包含與波形的快速上升邊緣相關的高頻成分。Eric Bogatin在《Rule of Thumb #1:Bandwidth of a signal from its rise time》中解釋了信号的上升時間與其帶寬之間的關系。簡單地說：

其中t_r是上升時間(10%，90%)，f_3dB是3dB帶寬。

這個等式對于具有單極低通響應的系統（想想“低通RC電路”）來說是精确的，對于許多性能良好的系統來說也是相當接近的。我最近發現了一篇Tektronix的老文章，讨論了垂直放大器響應和上升時間。文章展示了這兩個階躍響應圖，一個是理想化的“高斯響應”，另一個是典型的低通RC電路（見圖2）。

圖2：高斯階躍響應和低通RC電路階躍響應。

我發現相關的評論很有意思，因為它們描述了上升時間和過沖（overshoot）之間的設計權衡。（因子K對應于上式中的0.35）：

真正的高斯響應解析為tr•bw=0.32。由于幾個因素的影響，示波器放大器不能滿足真正的高斯響應要求。因此，“高斯”電路基本上是接近高斯的。通過多年研究得出的經驗乘積定義了這些“高斯”電路。對于更高的高斯響應，t_r•bw=0.35~0.45。較高的乘積表明上升時間縮短。但是，上升時間減少也伴随有過沖發生。0.45的乘積會導緻5％的過沖，當t_r•bw=0.35時，階躍響應中的過沖很小（如果有的話）。Tektronix通常将乘積設置在K=0.35，犧牲上升時間以實現最小過沖。

K是品質因數，有時也稱為上升時間帶寬積（RTBP）。近年來，随着示波器制造商将可用帶寬的上限推向新高，有時可以實現儀器響應的更陡滾降，而RTBP也發生了相應的變化。例如，Keysight UXR 110GHz示波器使用0.44的因數來指定10％/90％的上升時間。

回到正弦波

看完這一數字示例後，我一直在思考簡單的正弦波。上升時間最适用于階躍函數或方波，但它也可以應用于正弦波（雖然我承認它有點牽強）。考慮一個幅度為1、峰峰值幅度為2的正弦波（圖3）。

圖3：在此示例中，正弦波的上升時間是峰峰值幅度的10％到90％之間的時間。

我們來計算波形從負峰值的90％變為正峰值的90％所需的“上升時間”。如圖所示，該上升時間為t₂–t₁。由于波形的對稱性，可以看到：

這看起來不是那麼有趣。相同的值0.35顯示出正弦波頻率和上升時間之間的關系。仔細觀察會發現它略有不同：單極點情況下是0.356而不是0.350。0.35這一數字似乎有些特别，但還沒達到普适常數（例如光速）的水平。