什麼是多面體的外接球，如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那麼稱這個多面體是球的内接多面體，這個球為多面體的外接球。

多面體的外接球問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考察的一個熱點，當然這熱點不是“重點”，而是難點！有多少優秀的孩子們被這個球弄得亂七八糟！

研究多面體的外接球問題，又要運用球的性質，要命的是還要特别注意多面體的有關幾何元素與球的半徑的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用，接下來，我們通過幾道例題來探讨這類問題的求解策略。

3

定義法

SEE MORE →

例7、矩形ABCD中，AB=6，CD=8，沿對角線AC将平面ACD折起，構成一個四面體，求四面體D-ABC外接球的體積為。

解析：（如圖）因為四面體的外接球的球心到四個頂點的距離相等，由矩形的對角線互相平分，可得點O到四個頂點A、B、C、D的距離都相等。所以點O就是四面體外接球的球心，因此，求四面體外接球的半徑可轉化為先求矩形的對角線長，再計算半徑。

實際上，我們可以得到：有公共斜邊的兩個直角三角形組成的三棱錐，外接球球心在公共斜邊的中點處。

4

構造直角三角形

SEE MORE →

例8、正三棱錐V-ABC中，其中側棱VA=4，AB=BC=AC=2，求三棱錐V-ABC外接球的半徑為。

解析：設正三棱錐底面△ABC外心是E，外接球的球心為O，如圖，由球的截面的性質，可得OE⊥平面ABC，又VE⊥平面ABC，所以球心O必在VE所在的直線上，設外接球的半徑為R，

5

軸截面

SEE MORE →

例9、三棱錐S-ABC中，其中SA⊥平面 ABC，

∠BAC=30°，且SA=8，BC=3，求三棱錐S-ABC外接球的體積為。

解析：尋找底面△ABC的外心M，過M作底面△ABC的垂線MN，使得MN=SA，則外接球的球心必在直線MN上，因為SA⊥平面ABC，所以四邊形AMNS是矩形，且O到A、B距離相等，所以O是MN的中點，所以OA即為外接球的一條半徑。

6

向量法

SEE MORE →

例10、如圖，在棱長為2的正方體ABCD-EFGH中，M為上底的中心，則三棱錐M-ACF外接球的表面積為。

解析：三棱錐M-ACF沒有特殊垂直的關系，不容易找出球心的位置，但是三棱錐M-ACF放置在正方體中，我們可以建立空間直角坐标系，利用球心到四個頂點的距離相等求出球心的坐标，進而計算出半徑。

多面體的外接球問題是有關球類的問題的基本題型之一，因為它能全方位、多角度、深層次考察空間想象能力，所以深受命題人青睐。這類問題由于不易畫圖而變得抽象難解，所以在解決這類問題時首先考慮構造典型的幾何體模型，其次尋找球心，通過“截面”把立體幾何問題轉化為平面幾何問題，當然最後還有我們的空間直角坐标系，通過建系發揮空間向量的威力！