此次内容是對2021年12月25日針對學生後台提出問題答疑的再答疑，建議先回顧一下那一期的内容，鍊接為：兩道相似圓錐曲線定值問題的對比

在那期内容中提出了幾個疑問，以下圖為例：

PQ所在直線與x軸的交點恰好為橢圓在A點處切線與x的交點，因此可以大膽的将結論猜測為：過橢圓上的任意一點A作兩條直線，過兩條直線與橢圓的兩個交點的直線與x軸的交點必定過A點處切線與x軸的交點，此時AP與AQ的斜率之和為定值，這個定值到底與什麼有關系？

我查了一些相關的資料，也向一些科班出身的大神請教，由于這裡面涉及射影幾何學中的内容，由于曹老師不是科班出身，一些内容我自己并不熟悉，隻能從一般性的證明方法來解釋一下AP與AQ的斜率之和到底與什麼有關。

若設AP和AQ的斜率分别為k1,k2，将A點和橢圓方程均寫出一般形式，那麼能否用k1,k2和A點的橫縱坐标寫出過PQ兩點的直線方程？當然可以，既然可以寫出直線方程，又因為PQ的直線與x軸的交點也是A點處切線與x軸的交點，因此利用兩個點坐标相同即可确定出k1 k2到底與什麼有關了，如下：

以上計算過程需要做一些技巧上的處理，例如為什麼需要把P點的橫縱坐标中的x0,y0獨立出來，一方面是為了求y0時更加簡便，另一方面是為了求過PQ的斜率時直接将相同的部分減掉即可，求出PQ的斜率後，設出PQ的直線方程，将常數部分設為C，再将P或Q點坐标帶入，求出C即可，最後為了将k1k2和k1 k2獨立出來，需要對直線方程再做一次變形，但變形之後有意思的地方出來了。

PQ直線方程中出現了三條直線方程，直線1和直線3平行且關于原點對稱，且直線3恰好是過B點且與橢圓相切的直線，直線2過原點，與直線2的交點恰好為過B點切線與橢圓的切點，因此如果知道A點的坐标，就能用AP和AQ的斜率快速表示出PQ的直線方程，上述圖像中涉及太多對稱元素，但數學中不存在恰好，隻不過很多東西需要用更深層次的數學理論來解釋。

求出PQ與x軸的交點，求出橢圓在A點處的切線方程，求出與x軸的交點，令兩交點相等，即可确定出k1 k2的值與A點坐标和橢圓的長短軸有關，因此在2021年聖誕節那期内容中的兩個題目均可根據這個結論确定出斜率之和的定值。

至于為什麼PQ的直線恒過B點，用高中階段的方法也能證明出來，但将點和橢圓方程一般化之後的解析過程極其複雜，在此可猜測當PQ兩點無限接近時，過PQ的割線即為過E點切線，由于A,E兩點關于x軸對稱，因此必定過AE所在直線對應的極點。

這個題目發布以來一直耿耿于懷，因為一般性的結論證明過于複雜，但這明顯又是一個定值問題，根據兩個特例無法确定出一般性規律，所以索性咬咬牙證明出來一般結論，這個題目中有很多至今不理解的地方，其中涉及平面幾何中的對合和調和，這就不在高中能理解的範圍之内了，這個結論挺有意思，與此類似的題目也很常見，權當做算是一個二階結論吧。