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昆明理工大學考研專業課真題解析
昆明理工大學碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱
第一部分 考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150 分,考試時間為180 分鐘.
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試.
三、試卷的内容結構
極限論 約占20%
單變量微積分學 約占30%
多變量微積分學 約占30%
級數論 約占20%
四、試卷的題型結構
計算題 約75分
證明題 約60分
綜合題 約15分
合計 150分
第二部分 考察的知識及範圍
一、極限論
(1)掌握數列極限,函數極限定義,會用數列極限、函數極限的定義證明有關極限問題;掌握函數有界、無界的定義,并會用其證明給定函數在給定區間上的有界性、無界性;掌握實數集上、下确界的定義。
(2)掌握收斂數列的性質及運算,掌握單調有界數列收斂定理、迫斂性法則、柯西收斂原理、歸結原則及應用;掌握函數極限的性質及運算,會用兩個重要極限來處理極限問題。
(3)掌握無窮小量和無窮大量的定義、性質和關系;掌握無窮小量階的比較。
(4)理解和掌握連續函數的定義和運算,解決有關函數連續性問題;掌握不連續點的類型;掌握單側極限的概念。
(5)掌握和應用閉區間上連續函數的性質(最大最小值性、有界性、介值性、一緻連續性);掌握初等函數的連續性,理解複合函數的連續性,反函數的連續性。
(6)掌握實數連續性定理:閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、确界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理。
(7)理解平面點集的基本概念,了解矩形套定理,緻密性定理、有限覆蓋定理;掌握二元函數的極限,二次極限,連續性概念及計算;掌握有界閉區域上多元連續函數的性質。
二、單變量微積分學
(1)理解和掌握導數與微分概念和幾何意義;能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的導數(特别是複合函數)。
(2)理解可導性、連續性與可微性的關系;掌握導數的幾何應用,微分在近似計算中的應用;掌握高階導數的求法。
(3)掌握中值定理的内容、證明及其應用;能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限;掌握泰勒公式并能應用其解決近似計算、求極限等相關問題。
(4)掌握函數圖形特征(單調性、極值與最值、凹凸性、拐點及漸近線)的判定及描繪函數圖形。
(5)掌握原函數和不定積分概念;熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法,并能利用它們來求函數的積分;會計算簡單的無理函數的積分。
(6)理解定積分概念,掌握函數可積的條件;熟悉一些可積分函數類;掌握定積分與可變上限積分的性質;能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式,換元積分法,分部積分法計算定積分。
(7)掌握定積分的幾何應用;掌握定積分在物理上的應用;掌握"微元法"。
(8)掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念;.能用收斂性判别法判斷某些反常積分的收斂性。
(9)掌握含參變量定積分的性質及計算。
三、 多變量微積分學
(1)掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數、高階全微分等概念;了解多元函數可微、可導及連續的關系;掌握複合函數、隐函數的求導法則、由方程(組)所确定的函數的求導法則。
(2)掌握隐函數的存在性定理;會求曲線的切線方程和法平面方程,曲面的切平面方程和法線方程;會求多元函數的極值(條件極值和無條件極值)。
(3)掌握二重、三重積分的概念和性質;會計算重積分;會求圖形的面積,體積。
(4)掌握兩類曲線積分的概念及計算;掌握兩類曲線積分的性質;掌握兩類曲線積分的關系;掌握Green公式并會用其計算有關積分 。
(5)掌握兩類曲面積分的概念及計算;掌握兩類曲面積分的性質;掌握兩類曲面積分之間的關系;掌握Gauss公式、Stokes公式并會用其計算有關積分 。
四、級數論
(1)理解數項級數的收斂,發散,絕對收斂與條件收斂等概念;掌握數項級數的基本性質;熟練應用正項級數斂散性判别法(比較判别法、比式判别法、根式判别法和積分判别法)與任意項級數的斂散性判别法判斷級數的斂散性;能熟練應用幾何級數、調和級數與p級數的斂散性。
(2)掌握函數項級數(函數序列)收斂及一緻收斂性概念;掌握一緻收斂級數的性質,能夠比較熟練地運用判斷一緻收斂性的判别法(Cauchy收斂準則, Weierstrass判别法,Abel判别法和Dirichlet判别法)判斷函數項級數(函數序列)的一緻收斂性。
(3)掌握幂級數,收斂半徑、收斂域、和函數等概念;會求幂級數的收斂半徑和收斂域;掌握幂級數的性質并能求和函數;會把函數展開成幂級數。
(4)掌握三角函數系的正交性與周期函數的Fourier級數的概念和性質;掌握Fourier級數收斂性判别法;能将函數展開成Fourier級數。
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