龐加萊猜想的内容是：1904年，法國數學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學的猜想，任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。
解釋：一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間，單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為高維龐加萊猜想。
類比舉例：如果伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果想象同樣的橡皮帶以适當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。因此說，蘋果表面是單連通的，而輪胎面不是。
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