在本系列中，我們用彩色 Latex 筆記記錄下 MIT 18.06 Gilbert Strang 教授經典的線性代數課程的精髓，部分内容也會以動畫和代碼的形式。後續會覆蓋更多人工智能所涉及的數學基礎課程：統計，優化等，歡迎大家關注和反饋。

本文總結了方程組的行視角，列視角的幾何意義；并回顧了解方程的兩個步驟：消元和回代。内容對應于MIT 18.06 Gilbert Strang 線性代數視頻課程第一，二節。

本系列鍊接如下

矩陣乘法的五種理解 - Strang MIT 18.06 線性代數精髓 1

來看一個具體的二元線性方程組

寫成矩陣形式

回顧 2x -y = 0為所有滿足此條件的 (x, y) 的集合，即集合組成二維平面的一條直線，如下圖藍線所示。

-x 2y = 3則對應綠線。

因此方程組的解 x = 1, y = 2 為兩條直線的交點，這就是方程組的行視角：将系數矩陣按行切分，則每一行表示一個約束條件，幾何意義是N維空間的一個子空間。在二元方程中，一行表示一條線，三元方程中，一行表示一個平面（詳見後一小節）。

若将系數矩陣按列切分，則每一列表示一個向量，方程組的解 (x, y) 表示每個列向量以 x, y 為權重的線性組合剛好形成 b 向量。這個就是方程組 Ax = b 有解的條件：b 在 A 的列空間，此時，x 為 列向量的組合系數。

對于三元方程組行視角來說，每一行的方程組成一個三維空間中的一個平面。解是三個平面的交點，通常來說為一個點。

圖片來自 Introduction to Linear Algebra for Applied Machine Learning with Python (https://pabloinsente.github.io/intro-linear-algebra)，解為一直線而非一個點。

三元列視角下，A 的列向量為三維平面的一個向量，x（下圖為 w） 表示每個列向量取多少倍數可以組成 b 向量。

總結了二元三元方程組的行和列視角後，我們回顧求解方程的具體步驟。用兩個過程，消元和回代便可以解得方程。

• 消元的目的是将系數矩陣表示成變量依次依賴的上矩陣形式 (Upper Triangular Matrix)。

• 回代則在上矩陣的基礎上依次解得每個分量的值。

舉個三元方程組為例

寫成矩陣形式為

在消元過程中，有兩類操作，一是将上一行乘以某系數後被下一行減去，依次消除這一行的元。第二類操作是交換當前行和後面某行，行交換用于當某行對應的元已經為0的情況下。

以上述三元方程為例，第二行消元的具體過程為第二行減去3倍的第一行。接着，再進行第三行消元。

最終，上矩陣為

回代過程比較直白，由上矩陣 U 對應方程組

自下向上，容易解得

注意到消元時的兩類操作都不改變系數矩陣的行空間，隻是改變了行空間的線性組合方式。

由于每一行代表一個拘束子空間，因此每一次消元改變了該行的拘束子空間。

舉個例子，對于二元方程組和行空間

對應了兩條直線

第二行的 x 消除後其幾何意義為：藍色直線不變，綠色直線從包含 x 的成分變成不含 x 成分，并且維持交點 （1, 2）不變。

最後大家可以思考一下一個問題：消元對于列視角的幾何意義是什麼呢？

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