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關于幾何題輔助線的構成如何思考
關于幾何題輔助線的構成如何思考
更新时间:2025-04-02 20:17:27

  這是從網絡上看到的一道幾何題,感覺還是挺有代表性的一道題。這道題我繪制了五條輔助線,構造了等邊三角形、一對全等的等腰三角形和一組3個全等的等腰三角形才搞定。我估計各位數學高手們應該會有更高效簡潔的方法。現在先把我的證法分享給各位,以期收到抛磚引玉的效果。

  圖1是這道題的内容:

  關于幾何題輔助線的構成如何思考(我畫了五條輔助線才搞定)(1)

  圖1:題目内容

  這道題與我最早分享的一道題非常像,但是略有變化。題目上這一點小小的變化對證明方法的影響非常大。

  由于∠ABC = ∠ACB = 50°,∠PAB = ∠PBA = 10°,一個比較容易讓人聯想到的就是等邊三角形。因此,我就首先嘗試了這個方法。我先按圖2所示的方法,将△APB旋轉80度到以AC為底邊的位置。這樣構造一個新的等腰三角形,并恰好可以構造一個等邊三角形:

  關于幾何題輔助線的構成如何思考(我畫了五條輔助線才搞定)(2)

  圖2:構造等邊三角形

  等邊三角形構造好後,我們可以發現ADE恰好構成了底角平分∠PAD的等腰三角形。這樣,我們就可以構造一組全等的等腰三角形了,如圖3所示:

  關于幾何題輔助線的構成如何思考(我畫了五條輔助線才搞定)(3)

  圖3:基于∠PAD構造全等的等腰三角形

  構造好了全等的△PAE 和 △DAE後,我們還可以發現△PBE 實際也與△PAE 、 △DAE全等,而且△PEC也是等腰三角形。這樣我們就可以通過等分∠PEB計算出∠PCB的值了。如圖4所示:

  關于幾何題輔助線的構成如何思考(我畫了五條輔助線才搞定)(4)

  圖4:完成證明

  這個證明過程還是非常有趣的,不僅利用了等腰三角形的角度相等特性來進行角度計算,還利用了全等三角形,等邊三角形的特性來計算角度,可以算是一道非常典型的角度計算問題了。我這個計算過程可能不是最簡潔的,如果你有更好的方法,歡迎指教哦。

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