上二年級的小明正坐在教室裡。現在是數學課，下午第一節，窗外的蟬鳴、緩緩旋轉的吊扇讓同學們昏昏欲睡。此時，劉老師在黑闆上寫下一個問題：

　　6324 244675 = ？

　　小明擡頭看了一眼，覺得這兩個數字挺眼熟。他昨天翹課去網吧了，因此錯過了劉老師講的豎式計算加法。

　　“同學們算一算這道題。”劉老師和藹可親地說道。

　　小明盯着黑闆懵逼。

　　小學二年級的他面對這樣一道世界級難題，束手無策。小明伸出了自己的左手，打算用一個古老而深邃的方法--掰手指--嘗試一下。

　　小明發現他的每隻手隻能輸入0-5中的正整數，和的範圍僅限于0-10，離6324還十分遙遠。

　　“慢着！”小明看向了自己的左手。他發現，事情有一點不對勁。

　　我們也來看看小明的左手。這隻左手有5根手指，我們把5根手指都伸開來記為11111，5根手指握拳記為00000，手背面向我們，左手小指是第一個1/0。

　　小明緊緊地握拳，然後伸出大拇指，此時的左手為00001。“如果，”小明想，“這樣是1”。

　　他縮回拇指，伸出食指，此時的左手為00010；“這樣是2”。

　　他又伸出拇指，此時的左手為00011；“那麼這樣是3”。

　　他縮回拇指和食指，伸出中指，此時的左手為對着自己豎中指00100；“這樣就是4！”

　　.....小明的左手飛速運動着，直到五根手指都伸直，像是鋼鐵俠射了一發掌心炮11111；“這樣就是31！一隻手可以表示0-31中的任意正整數！”

　　小明為自己的發現感到激動。可他不知道怎麼表示加法。

　　小明的同桌，英語課代表小紅，看他擺弄了半天左手，忍不住問他在幹什麼。小明解釋了他的發現。小紅聽了小明的一番高論，若有所思，提筆在數學書的封底畫了一個表格：

　　小紅畫的表格

　　“如果我們能造一個機器，給它三個輸入，它能返回兩個結果，那我們就能算出這道題！”小紅激動地說。

　　“啥叫進位啊美女？”小明問道。

　　“就是你列豎式的時候畫的一小撇”，小紅回答。

　　“獵術士是什麼，我知道獵魔人和古爾丹。”

　　小紅于是講解了一下怎麼列豎式計算十進制加法。“我懂了。”

　　小明說着，拿過小紅的數學書，補全了表格：

　　小明試着補全表格

　　“是這樣嗎？”小明問小紅。

　　小紅拿過來看了看，說：“最後一行寫錯了，輸出結果應該是1。你想啊，1 1 1應該等于11，左邊這一位是輸出進位，右邊這一位是輸出結果，都是1，所以輸出結果應該是1。”

　　“噢。”小明又拿過書來，拿起橡皮鉛筆改正：

　　小明改好了

　　“那為什麼這個機器能算加法？我還是不懂。”小明問。

　　“假設我們已經造出來了這麼個機器，長這樣”小紅繼續在封底上畫着：

　　小紅畫的機器

　　“等會等會，怎麼變成英文了，我英語不好。”小明叫道。

　　“hmmm看來你沒讀雙語幼兒園。左邊這三個是輸入，右邊是輸出，C是進位，C-in是輸入進位，C-out是輸出進位，Sum是和的意思，明白了麼？”小紅解釋道。

　　“噢好。”

　　“假設我們已經造出來了這麼個機器，造了好幾個，我們這麼連起來...诶紙不夠大，我寫不下了。”

　　小明一聽，趕緊從書桌膛裡翻出來一本草稿紙，生怕同桌變成費馬。

　　“謝謝。先這麼連起來：”

　　小紅畫圖中

　　“哦哦哦我懂了，A和B就是兩隻手，最右邊這個one-bit-adder計算的是最小位數的和！”小明說道。

　　“正确！”

　　“你這樣連的話，是說最小位的輸出進位就是下一位的輸入進位，下一位的輸出又是下下一位的輸入！天啊，這跟列豎式好像。”小明驚叫。

　　“Absolutely!”小紅回答道。

　　小明又拿過草稿紙，接着畫起來：

　　小明畫圖中

　　“把對應的每一位連到每一個adder裡...”小明念念有詞，“...再彙總一下輸出”：

　　小明畫的加法器

　　“成了！這個東西可以算兩隻手加法的結果！”小明高興極了。

　　“可是離6324和244675還是太遠了，輸入5位遠遠不夠呀。”小紅皺了皺眉頭。

　　“不不不！你在掰手指的時候有沒有發現，每多一根指頭，能表示的數就會多出來一大堆，我覺得隻要加那麼十幾個就夠了！1根指頭能表示2個數（0，1），2根指頭四個數（0，1，2，3），3根8個...”

　　“是2的倍數！”小紅接道，“小明，我覺得你的這個記數方法很有意思，要不叫小明式吧！”小紅凝望小明的目光中有了一絲羞澀。

　　“二進制。”

　　身後忽然傳來低沉的聲音。兩人同時回頭，發現數學課代表小剛正直勾勾地盯着那張草稿紙。他好像已聆聽多時了。

　　“叫二進制吧，我看藍貓淘氣三千問講過這個，一模一樣，藍貓說這是二進制。”小剛補充道。

　　小剛的數學成績是班裡最好的，一進學而思就上的超常班。小紅隻能上尖子班，小明一般去網吧。

　　“那就叫二進制吧。”小明說。

　　他和小紅轉過身來，老師讓小組讨論的時候他們就這麼坐。

　　小剛又道：“可是，怎麼造出這個one-bit-adder呢？”他的眉頭皺成一團，眼鏡片看起來更厚了。

　　小明和小紅也陷入了沉默，三人一籌莫展，陷入僵局。這時，小剛的同桌，物理課代表小蘭入局。

　　她忽然說道：“我聽物理辦公室的陳老師吹牛，他當年在大學裡讀電子工程，GPA一直是4.3，用實驗室的導線開關和小燈泡就能造一個32位的加法器，不知道是怎麼做到的。他還說什麼與門是and，或門是or，再加一個非門not，用它們表示邏輯，就能造出世間千千萬萬的計算機。”

　　小明聽迷糊了，“等會等會，什麼門？金拱門？”另兩人也露出迷茫的表情。

　　小蘭從桌子裡掏出一個黑盒子。“這是下節課要用的教具，陳老師讓我先拿着。”

　　她打開盒子，取出三個零件和一個說明書。

　　“喏，你們看看這個”，她拿起第一個零件，“這個叫與門，有兩個輸入和一個輸出。如果我們把輸出連上小燈泡，接上電源，兩個輸入分别連上開關，那麼是這麼個情況：”

　　小蘭畫的表格

　　“就是說，隻有兩個開關都閉合了，小燈泡才亮，有點像串聯電路。”小蘭補充道。

　　“诶，有意思了...”小剛扶了扶眼鏡，似乎打算說什麼，大家都看向他。

　　“沒，沒什麼，我還在想，小蘭你接着說。”

　　“那好。”小蘭接着拿起第二塊零件。“這個叫或門，有一個開關開着燈泡就會亮...”

　　“等下！”小剛忽然打斷，拿起筆在自己的白紙上畫起來：

　　小剛畫的表格

　　“是不是這樣！”小剛激動地說，“如果0是關1是開，0是滅1是亮的話，或門的輸入輸出是不是這樣？”

　　小蘭看了看道：“正是”。

　　她拿起第三個零件，“最後這個叫非門，隻有一個輸入，一個輸出。它會輸出一個相反的結果：輸入有電流，輸出就沒有；輸入沒有電流，輸出就有電流。用小剛的話來說，輸入0輸出則為1，輸入1輸出則為0。太簡單了，懶得畫表了。”

　　小蘭把非門放在桌上。小剛說道：“這三個門可以表示三種邏輯。如果A、B是輸入， A or B 就是經過或門的結果， A and B就是經過與門的結果， not A 則是A經過非門的結果。”

　　三人紛紛點頭。“可是，這和加法有什麼關系呢？”小明問道。

　　四人再度陷入沉默。

　　沉默。

　　忽然，小明拿起筆，一邊畫一邊說道：“如果我們回去看小紅畫的表格，”

　　左三列是輸入，右二列是輸出

　　“Sum可以寫成A、B、Cin的邏輯關系！”

　　“你們看，把 A and B 記作 AB，A or B 記作 A B，not A 記作 A 上面畫個橫線。Sum 輸出為1隻出現在表格的2、3、5、8行，也就是三個輸入中1的個數為奇數的時候。我們把這4種情況記下來，那麼這個式子...”

　　“可以拿邏輯門實現！！！”四人異口同聲的叫道。

　　小紅搶過草稿紙，又看了看物理教具的說明書，邊畫邊說了起來：“說明書上寫，這個火車頭形狀的符号表示 and gate；這個B2轟炸機形狀的是or gate；這個小人形狀的是not gate...”

　　小紅畫的與門，或門，非門

　　她又看了一眼小明的式子，說道：“這個式子的第一項可以這樣...”

　　小紅畫的輸出和的第一項

　　你們看你們看，這個不就是

　　嘛！小紅自豪地說。

　　小明補全了電路：

　　“先把與門都畫了”

　　“再把或門都加上，搞定。這東西可以算出Sum了，接下來用一樣的辦法把C-out弄出來。”小明準備繼續畫。

　　“你們看，這裡還有幾個零件。”小蘭指着說明書說道：

　　與非，或非，異或，同或

　　“與非門：一個與門的輸出和一個非門相連，英文是not and，NAND gate。那個小圈圈代表一個非門。

　　或非門是或門 非門，not or，NOR gate。

　　第三個叫異或門，隻有兩個輸入中一個為1一個不為1時，才會輸出1，exclusive-or，XOR gate。

　　第四個是同或門，也就是一個異或門加上一個非門。”

　　“啊哈！”小剛靈機一動，抓起筆來道：“我有一個絕妙的點子。”

　　小剛簡化後的電路

　　“小明的方案，要用17個門。我隻要2個異或門就搞定了，牛逼吧？”

　　三人瞪大了眼睛，仔細思考後紛紛點頭道：“牛逼，牛逼。”

　　小剛随即畫出了完整的one-bit-adder電路：

　　小剛的one-bit-adder

　　小明從從教具盒裡拿出電源、小燈泡、開關和邏輯門，按照設計圖制作出了全加器：

　　看到小剛的設計被完整的實現，小明欣喜：“啊哈哈哈，吾有上将小剛，則霸業可成，漢室可興啊！”

　　他把黑盒子裡的零件全拿了出來，四人忙碌地工作着。很快，他們擁有了5個全加器，基于小紅的設計連了起來：

　　小紅設計實現

　　“二進制的01100等于十進制的12，01010等于10，12 10=22，等于16 4 2，也就是二進制的10110...”

　　四人人往代表輸出結果的5個小燈泡望去：亮，滅，亮，亮，滅；正是10110！

　　“成了！！！”

　　大家激動的拍打課桌為了計算黑闆上那道題，四人一共制作了32個一位全加器，将它們連接後，一個三十二位加法器便誕生了。

　　他們曆經艱辛，踩着自然規律和人類智慧的肩膀，把自己從枯燥的加法計算中解放出來！

　　窗外的蟬鳴漸漸平息，頭頂的吊扇不再轉動。

　　“劉老師，答案是250999！”小明站了起來，聲若洪鐘大呂，震懾天地。

　　他和小紅、小剛、小蘭分别對視了一眼，收獲了堅定的目光。

　　這目光，連同面前的32位加法器，如同新的轉機和閃閃星鬥，正在綴滿沒有遮攔的天空。

　　劉老師點了點頭，欣慰的說道：“很好，看來四位同學對這部分知識掌握的不錯！我們再來看幾道題！”

　　他轉過身，拿起闆擦，把黑闆擦了個精光，又從黑闆槽裡拾起半截粉筆，寫了起來：

　　1. 244675 - 6324 = ？

　　2. 3.14159 5.535897 = ？

　　3. 17 * 45 = ？

　　4. 3 / 2 = ？

　　一連四道題，讓四人組陷入了深思：如何讓自己的機器運算減法？乘法？除法？浮點數？

　　劉老師并沒有停下，手中的粉筆運動得越來越快：

　　5. Fibonacci 數列的第103項？

　　6. 一圈共有N個人，開始報數，報到M的人出列，然後重新開始報數，問最後出列的人是誰？.

　　.....

　　疑惑越來越多了：如何存儲？怎樣實現分支？保證效率？

　　劉老師仍未停下，黑闆快被寫滿了：

　　103. 方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上嗎？

　　104. 大于2的偶數都可以寫成兩個質數的和嗎？

　　......

　　134. 生命，宇宙及所有事物的答案？

　　劉老師放下了粉筆，半截粉筆已經變成硬币的厚度。

　　“這些問題，我們能造個機器回答麼？”小明撐着頭，喃喃自語。

　　作者 | 柳兩叢

　　來源 | www.zhihu.com/question/40571490/answer/718942643

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