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高中數學基本不等式知識點詳細
高中數學基本不等式知識點詳細
更新时间:2024-11-10 16:40:33

1. 不等式的基本概念

(1) 不等(等)号的定義:a-b>0<=>a>b;a-b=0<=>a=b;a-b<0<=>a<b.

(2) 不等式的分類:絕對不等式;條件不等式;矛盾不等式.

(3) 同向不等式與異向不等式.

(4) 同解不等式與不等式的同解變形.

2.不等式的基本性質

(1)a>b<=>b<a(對稱性)

(2)a>b,b>c=>a>c(傳遞性)

(3)a>b=>a c>b c(加法單調性)

(4)a>b,c>d=>a c>b d(同向不等式相加)

(5)a>b,c<d=>a-c>b-d(異向不等式相減)

(6)a>b,c>0=>ac>bc

(7)a>b,c<0=>ac>bd(乘法單調性)

(8)a>b>0,c>d>0=>ac>bd(同向不等式相乘)

(9)a>b>0,0<c<d=>a/v<b/d(異向不等式相除)

(10)a>b,ab>0=>1/a<1/b(倒數關系)

(11)a>b>0=>aⁿ>bⁿ(n∈Z,且n>1)(平方法則)

(12)a>b>0=>ⁿ√a>ⁿ√b(n∈Z,且n>1(開方法則)

3.幾個重要不等式

(1)若a∈R,則|a|≧0,a²≧0

(2)若a、b∈R ,則a² b²≥2ab(或a² b²≥2|ab|≥2ab)(當僅當a=b時取等号)

(3)如果a,b都是正數,那麼 √(ab)≤(a b)/2(當僅當a=b時取等号)

極值定理:若x,y∈R ,x y=S,xy=P則:

1如果P是定值, 那麼當x=y時,S的值最小;

2如果S是定值, 那麼當x=y時,P的值最大.

利用極值定理求最值的必要條件: 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c∈R ,則(a b c)/3≥³ √(abc)(當僅當a=b=c時取等号)

(5)若ab>0,則b/a a/b≥2(當僅當a=b時取等号)

(6)a<0時,|x|>a<=>x²>a²<=>x<-a或x>a;|x|<a<=>x²<a²<=>-a<x<a

(7)若a、b∈R,則||a|-|b||≤|a±b|≦|a| |b|

4.幾個著名不等式

(1)平均不等式: 如果a,b都是正數,那麼 2/(1/a 1/b)≦√(ab)≦(a b)/2≦√[(a² b²)/2](當僅當a=b時取等号)即:平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均(a、b為正數):

特别地,ab≤[(a b)/2]²≤(a² b²)/2(當a = b時,[(a b)/2]²=(a² b²)/2=ab)

(a² b² c²)/3≥[(a b c)/2]²(a,b,c∈R,a=b=c時取等)

=>幂平均不等式:a₁² a₂² .... an²≥1/n(a₁ a₂ .... an)²

注:例如:(ac bd)²≤(a² b²)(c² d²).

常用不等式的放縮法:①1/n-1/(n 1)=1/n(n 1)<1/n²<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n(n≥2)

②√(n 1)-√n=1/[√n √(n 1)]<1/(2√n)<1/(√n √(n-1))=√n-√(n-1)(n≥1)

(2)柯西不等式: 若a₁,a₂,a₃....,an∈R,b₁,b₂,b₃.....,bn∈R;則(a₁b₁ a₂b₂ a₃b₃ ... anbn)²≤(a₁² a₂² a₃² ... an²)(b₁² b₂² b₃³ ... bn²)當且僅當a₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃=...=an/bn時取等号

(3)琴生不等式(特例)與凸函數、凹函數

若定義在某區間上的函數f(x),對于定義域中任意兩點x₁,x₂(x₁≠x₂)有

f[(x₁ x₂)/2]≤[f(x₁) f(x₂)]/2或f[(x₁ x₂)/2]≥[(f(x₁) f(x₂)]/2

則稱f(x)為凸(或凹)函數.

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.

6.不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根軸法).

步驟:正化,求根,标軸,穿線(偶重根打結),定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨論;

②一元二次不等式ax2 bx c>0(a≠0)解的讨論.

(2)分式不等式的解法:先移項通分标準化,則

f(x)/g(x)>0<=>f(x)g(x)>0;f(x)/g(x)≥0<=>{f(x)g(x)≥0,g(x)≠0

(3)無理不等式:轉化為有理不等式求解

1.√f(x)>√f(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)>g(x)

2.√f(x)>g(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)>[g(x)]²

3√f(x)<g(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)<[g(x)]²

(4).指數不等式:轉化為代數不等式

高中數學基本不等式知識點詳細(高三數學知識點-不等式)1

(5)對數不等式:轉化為代數不等式

高中數學基本不等式知識點詳細(高三數學知識點-不等式)2

(6)含絕對值不等式

1應用分類讨論思想去絕對值; 2應用數形思想;

3應用化歸思想等價轉化

|f(x)|<g(x)<=>{g(x)>0,-g(x)<f(x)<g(x)

|f(x)|>g(x)<=>g(x)≤0(f(x),g(x)不同時為0)或{g(x)>0,f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)

注:常用不等式的解法舉例(x為正數):

①x(1-x)²=1/2·2x(1-x) (1-x) ≤1/2(2/3)³=4/27

②y=x(1-x²)=>y²=[2x²(1-x²)(1-x²)]/2≤1/2(2/3)³=4/27=>y≦2√3/9

類似于y=sinxcos²x=sinx(1-sin²x),③|x 1/x|=|x| |1/x|(x與1/x同号,故取等号)≥2

更多精彩:「鍊接」

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