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三角函數及解三角形高考題型大全
三角函數及解三角形高考題型大全
更新时间:2025-04-03 09:18:01

#頭條創作挑戰賽#

這是2022年高考數學全國文科甲卷填空壓軸題,是一道解三角形的問題,但它的核心步驟卻與是求函數的最值。需要變形運用勻值不等式,比較巧妙地解決。

已知△ABC中,點D在邊BC上,∠ADB=120度,AD=2,CD=2BD. 當AC/AB取最小值時,BD=______.

請自己嘗試完成!

分析:首先,畫一個草圖,對解題會有很大的幫助。要不然就像人的眼睛被蒙住一樣,像一隻無頭蒼蠅不知道該往哪裡飛,除非你有超強的大腦,可以在腦海中構造圖形,并分析圖形和問題。反正老黃是做不到的。

三角函數及解三角形高考題型大全(巧妙求函數最值)1

這個圖倒是一點兒也不複雜。解題的突破口在餘弦公式的運用,在三角形ABD中,表示出角ADB的餘弦公式,而角ADB的大小是120度,對邊是AB,從而得到:

AB^2=BD^2 AD^2-2BD·AD·cos120度=BD^2 2BD 4;

在三角形ACD中,同樣表示出角ADC的餘弦公式,因為角ADC與角ADB是互為鄰補角,所以角ADC等于60度,對邊是AC,因此有:

AC^2=CD^2 AD^2-2CD·AD·cos60度=4BD^2-4BD 4.

兩個餘弦公式求比,就有:

(AC/AB)^2=(4BD^2-4BD 4)/(BD^2 2BD 4)=4-(12(BD 1))/(BD 1)^2 3).

可以把(AC/AB)^2看作是關于BD的函數,這就把問題轉化成求函數的最值問題。因為(AC/AB)^2最小時,AC/AB就最小。不過我們要的不是這個最小值,而是取得最小值時BD的值。

求這個函數最值的方法有很多,不過老黃覺得,利用均值不等式,會相對比較簡便。但直接運用不了均值不等式,為此,要把函數做為減數部分的分式取倒數的形式。即:

記M=((BD 1)^2 3)/(BD 1)=BD 1 3/(BD 1).

隻要M最小,那麼M的倒數就最大,即原函數做為減數部分的分式最大,原函數就最小。而很明顯的,M的表達式就可以運用均值不等式了。

當BD 1=3/(BD 1)時, M最小. AC/AB最小.

我們隻需求出此時BD的值就可以了。這是關于BD的分式方程,可解得BD=√3-1. 具體解方程的過程,請自行腦補。

那麼你完成了嗎?解法是否與老黃的相同呢?

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