#頭條創作挑戰賽#
這是2022年高考數學全國文科甲卷填空壓軸題，是一道解三角形的問題，但它的核心步驟卻與是求函數的最值。需要變形運用勻值不等式，比較巧妙地解決。
已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120度，AD=2，CD=2BD. 當AC/AB取最小值時，BD=______.
請自己嘗試完成！
分析：首先，畫一個草圖，對解題會有很大的幫助。要不然就像人的眼睛被蒙住一樣，像一隻無頭蒼蠅不知道該往哪裡飛，除非你有超強的大腦，可以在腦海中構造圖形，并分析圖形和問題。反正老黃是做不到的。
這個圖倒是一點兒也不複雜。解題的突破口在餘弦公式的運用，在三角形ABD中，表示出角ADB的餘弦公式，而角ADB的大小是120度，對邊是AB，從而得到：
AB^2=BD^2 AD^2-2BD·AD·cos120度=BD^2 2BD 4；
在三角形ACD中，同樣表示出角ADC的餘弦公式，因為角ADC與角ADB是互為鄰補角，所以角ADC等于60度，對邊是AC，因此有：
AC^2=CD^2 AD^2-2CD·AD·cos60度=4BD^2-4BD 4.
兩個餘弦公式求比，就有：
(AC/AB)^2=(4BD^2-4BD 4)/(BD^2 2BD 4)=4-(12(BD 1))/(BD 1)^2 3).
可以把(AC/AB)^2看作是關于BD的函數，這就把問題轉化成求函數的最值問題。因為(AC/AB)^2最小時，AC/AB就最小。不過我們要的不是這個最小值，而是取得最小值時BD的值。
求這個函數最值的方法有很多，不過老黃覺得，利用均值不等式，會相對比較簡便。但直接運用不了均值不等式，為此，要把函數做為減數部分的分式取倒數的形式。即：
記M=((BD 1)^2 3)/(BD 1)=BD 1 3/(BD 1).
隻要M最小，那麼M的倒數就最大，即原函數做為減數部分的分式最大，原函數就最小。而很明顯的，M的表達式就可以運用均值不等式了。
當BD 1=3/(BD 1)時, M最小. AC/AB最小.
我們隻需求出此時BD的值就可以了。這是關于BD的分式方程，可解得BD=√3-1. 具體解方程的過程，請自行腦補。
那麼你完成了嗎？解法是否與老黃的相同呢？
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