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三角形的内切圓知識點大全
三角形的内切圓知識點大全
更新时间:2025-03-07 11:02:08

在本節我們将了解:

  1. 内切圓原理
  2. 證明三角形角平分線交于一點
  3. 三角形内切圓半徑公式

三角形内切圓:與三角形各條邊都相切的圓叫做三角形的内切圓。

三角形内切圓的圓心和半徑是通過三角形的角平分線交點來确定的。

先複習一下角平分線性質:角平分線上的任意一點,到角兩條邊的距離相等。

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)1

證明如下:

直線AF平分∠BAC,過點F分别作AB和AC的垂線,構成2個直角三角形ΔAGF和ΔAHF

∵ ∠GAF = ∠HAF

∴ ∠AFG = ∠AFH,且兩個直角三角形有公共邊AF

∴ ΔAGF ≌ ΔAHF(ASA,角邊角判定)

∴ FG = FH

證明完畢

以上也等價于:一個點到一個角兩條邊距離相等,則該點在這個角的角平分線上。

在任意三角形中必然有一個内切圓(也必然有一個外接圓)

過程如下:

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)2

  1. 做ΔABC任意兩個角的角平分線,相交與D點。
  2. 過D點作三角形三條邊的垂線,分别交E,H,G。
  3. 根據角平分線性質可得,DE=DG=DH,這3條線段的長度為内切圓的半徑,D點為内切圓的圓心。
  4. 以D為圓心,DE為半徑作圓即可。

通過三角形内切圓,我們可以證明三角形的三條角平分線交于一點

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)3

∵ DG = DH

∴ D點必然在∠ACB的角平分線上

∴ D點同時在三條角平分線上

∴ ΔABC的三條角平分線交于一點

證明完畢

三角形内切圓半徑公式:

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)4

S為三角形面積,a,b,c為三角形三條邊長度

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)5

已知三角形的三條邊,面積可以通過海倫公式獲得:

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)6

p為三角形的半周長(周長的一半):

為什麼要使用半周長?因為不使用半周長的公式是這樣的:

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)7

使用半周長後就便于記憶了。(關于海倫公式的推導,我們将會放在講述三角形的内容中完成

繼續上面的推導,假設AB=a,BC=b,AC=c,連接内切圓圓心D與三個切點,則DE⊥AB,DG⊥BC,DF⊥AC

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)8

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)9

如果是直角三角形,内切圓的半徑則容易很多:

如果a,b為直角邊,c為斜邊,則a² b² = c²

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)10

三角形的内切圓知識點大全(初中幾何7三角形的内切圓)11

直角三角形的内切圓半徑為:兩條直角邊的和減去斜邊後的一半。

記住以上的兩個公式,特别是直角三角形的,在解題中會事倍功半。

作者并非老師,在輔導孩子數學的這幾年中,感覺到現在的數學教學都是切片式的,每個年級講一點,時間跨度很大,孩子在學習過程中死記硬背,對其原理理解并不透徹。而初中的數學基本功對高中階段的學習非常重要。所以打算自己來寫一些教程,有别于教科書和參考書那樣,僅僅是對知識點的羅列,會對每個知識點進行詳細的說明,并給出證明過程(這點學校在教學過程中比較缺失)。希望能幫助同學們更好地融會貫通。

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