在本節我們将了解：

1. 内切圓原理
2. 證明三角形角平分線交于一點
3. 三角形内切圓半徑公式

三角形内切圓：與三角形各條邊都相切的圓叫做三角形的内切圓。

三角形内切圓的圓心和半徑是通過三角形的角平分線交點來确定的。

先複習一下角平分線性質：角平分線上的任意一點，到角兩條邊的距離相等。

證明如下：

直線AF平分∠BAC，過點F分别作AB和AC的垂線，構成2個直角三角形ΔAGF和ΔAHF

∵ ∠GAF = ∠HAF

∴ ∠AFG = ∠AFH，且兩個直角三角形有公共邊AF

∴ ΔAGF ≌ ΔAHF（ASA，角邊角判定）

∴ FG = FH

證明完畢

以上也等價于：一個點到一個角兩條邊距離相等，則該點在這個角的角平分線上。

在任意三角形中必然有一個内切圓（也必然有一個外接圓）

過程如下：

1. 做ΔABC任意兩個角的角平分線，相交與D點。
2. 過D點作三角形三條邊的垂線，分别交E，H，G。
3. 根據角平分線性質可得，DE=DG=DH，這3條線段的長度為内切圓的半徑，D點為内切圓的圓心。
4. 以D為圓心，DE為半徑作圓即可。

通過三角形内切圓，我們可以證明三角形的三條角平分線交于一點。

∵ DG = DH

∴ D點必然在∠ACB的角平分線上

∴ D點同時在三條角平分線上

∴ ΔABC的三條角平分線交于一點

證明完畢

三角形内切圓半徑公式：

S為三角形面積，a，b，c為三角形三條邊長度。

已知三角形的三條邊，面積可以通過海倫公式獲得：

p為三角形的半周長（周長的一半）：

為什麼要使用半周長？因為不使用半周長的公式是這樣的：

使用半周長後就便于記憶了。（關于海倫公式的推導，我們将會放在講述三角形的内容中完成）

繼續上面的推導，假設AB=a，BC=b，AC=c，連接内切圓圓心D與三個切點，則DE⊥AB，DG⊥BC，DF⊥AC

如果是直角三角形，内切圓的半徑則容易很多：

如果a，b為直角邊，c為斜邊，則a² b² = c²

直角三角形的内切圓半徑為：兩條直角邊的和減去斜邊後的一半。

記住以上的兩個公式，特别是直角三角形的，在解題中會事倍功半。

作者并非老師，在輔導孩子數學的這幾年中，感覺到現在的數學教學都是切片式的，每個年級講一點，時間跨度很大，孩子在學習過程中死記硬背，對其原理理解并不透徹。而初中的數學基本功對高中階段的學習非常重要。所以打算自己來寫一些教程，有别于教科書和參考書那樣，僅僅是對知識點的羅列，會對每個知識點進行詳細的說明，并給出證明過程（這點學校在教學過程中比較缺失）。希望能幫助同學們更好地融會貫通。