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線性數學基礎知識行列式
線性數學基礎知識行列式
更新时间:2025-04-03 12:16:00

例 1 證明對角行列式(其中對角線上的元素是,未寫出的元素都是0)

線性數學基礎知識行列式(線性代數知識點摘抄)1

線性數學基礎知識行列式(線性代數知識點摘抄)2

第一式是顯然的,下面隻證第二式。

若記,則依行列式定義

線性數學基礎知識行列式(線性代數知識點摘抄)3

,

其中為排列的逆序數,故。 證畢。

兩個對角陣,我們可以理解為n維的正超立方體,隻不過兩者向量的方向不同。至于正負号的問題,我們有個簡單的判斷方法。以列為向量空間的維度數,從左到右設為1、2、...、n維,從1維到n維算起,向量坐标值的符号不變;從n維到1維算起,向量坐标值都取它的相反數,那麼,偶數階行列式不變号,奇數階行列式變負号(2階行列式除外)。

例2

對角線以下(上的元素都為0的行列式)叫做上(下)三角行列式,它的值與對角行列式一樣。

證明下三角行列式

線性數學基礎知識行列式(線性代數知識點摘抄)4

由于當時,,故中可能不為0的的元素,其下标應有,即。

在所有排列中,能滿足上述關系的排列隻有一個自然排列12...n,所以中可能不為0的項隻有一項,此項的符号,所以。

任一元素的行、列标的組合是123...n對123...n的兩兩配對。以自然排列的情形為基礎,互換兩個列标,比如1、4互換,就會出現14和41兩個配對。那樣肯定有列标比行标大的情況。而在三角行列式中,當列标大于行标時,元素是0。那麼,除了自然排列外,所有的排列都是0。

例3

線性數學基礎知識行列式(線性代數知識點摘抄)5

線性數學基礎知識行列式(線性代數知識點摘抄)6

線性數學基礎知識行列式(線性代數知識點摘抄)7

證明 。

記,其中

考察的一般項

,

由于當時,,因此隻有在中選取時,該項才可能不為0,而當在中選取時,隻能在中選取。于是中可能不為0的項可以記作

這裡,,而為排列的逆序數,以分别表示排列及的逆序數,應有。于是

線性數學基礎知識行列式(線性代數知識點摘抄)8

這裡面有點繞啊。我們先不看排列本身,而是看一個排列裡面行标與列标的兩兩配對,行、列标都是12...k...n。有行标1~k配列标k~n,肯定就有列标1~k配行标k~n,所以在一個排列裡,有ab的地方一定有c0,除非ab能把這個排列占滿。

那麼,所有排列可以分三類,ab排列、abc0排列,c0排列,隻ab排列不為0。

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